「次の方程式を解け。
(1)||x−3|−2|=2||x−3|−2|=2
(2)||5−2x|+3|=−1
(3)||x2−2x−3|−5|=0
(4)||x2+3x−18|+x−3|=0」このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
絶対値が二重になっている場合は内側の絶対値記号から場合分けして外していきます。
絶対値記号を外す時の場合分けの基本は
a<0のとき|a|=−aa≦0のとき|a|=a
です。
(1)||x−3|−2|=2
内側の絶対値の中身x−3の正負について考えると
x−3<0すなわちx<3のとき|x−3|=−(x−3)=−x+3x−3≧0すなわちx≧3のとき|x−3|=x−3
と場合分けできます。
このことから内側の絶対値記号を外すとxの範囲によってそれぞれの方程式は
{x<3のとき|(−x+3)−2|=|−x+1|=2x≧3のとき|(x−3)−2|=|x−5|=2
となります。
それぞれの場合について方程式を解きます。
x<3のとき
絶対値記号を外すと方程式は
この場合分けはx<3の範囲内で考えたものなので、x<3も満たしている必要があります。
−x+1≧0すなわちx≦1のとき|−x+1|=−x+1∴−x+1=2−x+1<0すなわちx>1のとき|−x+1|=−(−x+1)=x−1∴x−1=2
とさらに場合分けされます。
この場合分けはx<3の範囲内で考えたものなので、x<3も満たしている必要があります。
そこで、それぞれのxの範囲とx<3の共通範囲を求めます。
x<3かつx≦1 ⟹ x≦1x<3かつx>1 ⟹ 1<x<3
得られる方程式の解はこのxの範囲内にある必要があるので、適切な解かを吟味します。
x≦1のとき−x+1=2x=−11<x<3のときx−1=2x=3
以上よりx<3における解はx=−1となります。
x≧3のとき
絶対値記号を外すと方程式は
この場合分けのxの範囲とx≧3の共通範囲は
.png)
x−5<0すなわちx<5のとき|x−5|=−(x−5)=−x+5∴−x+5=2x−5≧0すなわちx≧5のとき|x−5|=x−5∴x−5=2
となります。
この場合分けのxの範囲とx≧3の共通範囲は
.png)
x≧3かつx<5 ⟹ 3≦x<5x≧3かつx≧5 ⟹ x≧5
それぞれの場合における方程式を解くと
3≦x<5のとき−x+5=2x=3x≧5のときx−5=2x=7
となるためx≧3における解はx=3,7となります。
以上より、(1)の解はx=−1,3,7となります。
.png)
|
| 右辺と左辺をそれぞれグラフで表すと |
(2)||5−2x|+3|=−1
内側の絶対値の中身5−2xの正負について考えると
5−2x≧0すなわちx≦52のとき|5−2x|=5−2x5−2x<0すなわちx>52のとき|5−2x|=−(5−2x)=2x−5
と場合分けできます。
このことから内側の絶対値記号を外すと
{x≦52のとき|(5−2x)+3|=|8−2x|=−1x>52のとき|(2x−5)+3|=|2x−2|=−1
となります。
それぞれの方程式について解くと
x≦52のとき
絶対値記号を外すと方程式は
この場合分けのxの範囲とx≦52の共通範囲は
.png)
8−2x≧0すなわちx≦4のとき|8−2x|=8−2x∴8−2x=−18−2x<0すなわちx>4のとき|8−2x|=−(8−2x)=2x−8∴2x−8=−1
となります。
この場合分けのxの範囲とx≦52の共通範囲は
.png)
x≦52かつx≦4 ⟹ x≦52x≦52かつx>4 ⟹ 共通範囲なし
それぞれの場合における方程式を解くと
x≦52のとき8−2x=−1x=92x≦52かつx>4は共通範囲なしなので2x−8=−1を解いても適切な解はありません
となるためx≦52における解はありません。
x>52のとき
絶対値記号を外すと方程式は
この場合分けのxの範囲とx>52の共通範囲は
.png)
2x−2<0すなわちx<1のとき|2x−2|=−(2x−2)=−2x+2∴−2x+2=−12x−2≧0すなわちx≧1のとき|2x−2|=2x−2∴2x−2=−1
となります。
この場合分けのxの範囲とx>52の共通範囲は
.png)
x>52かつx<1 ⟹ 共通範囲なしx>52かつx≧1 ⟹ x>52
それぞれの場合における方程式を解くと
x>52かつx<1は共通範囲なしなので−2x+2=−1を解いても適切な解がありません,x>52のとき2x−2=−1x=12
となるためx>52における解はありません。
以上より、(2)の解はありません。
.png)
|
| 右辺と左辺をそれぞれグラフで表すと |
(3)||x2−2x−3|−5|=0
内側の絶対値の中身x2−2x−3の正負について考えると
.png)
.png)
x2−2x−3<0すなわち−1<x<3のとき|x2−2x−3|=−(x2−2x−3)=−x2+2x+3x2−2x−3≧0すなわちx≦−1,3≦xのとき|x2−2x−3|=x2−2x−3
となります。
このことから内側の絶対値記号を外すと
{−1<x<3のとき|(−x2+2x+3)−5|=|−x2+2x−2|=0x≦−1,3≦xのとき|(x2−2x−3)−5|=|x2−2x−8|=0
となります。
それぞれの方程式を解くと
−1<x<3のとき
2次関数f(x)=−x2+2x−2について平方完成するとf(x)=−(x−1)2−1となります。
−(x−1)2≦0であるからf(x)は常に負となることがわかります。
したがって、−x2+2x−2=0は解を持たないので−1<x<3においては解なしです。
したがって、−x2+2x−2=0は解を持たないので−1<x<3においては解なしです。
x≦−1,3≦xのとき
絶対値記号を外すと方程式は
.png)
この場合分けのxの範囲とx≦−1,3≦xの共通範囲は
.png)
.png)
x2−2x−8<0すなわち−2<x<4のとき|x2−2x−8|=−(x2−2x−8)=−x2+2x+8∴−x2+2x+8=0x2−2x−8≧0すなわちx≦−2,4≦xのとき|x2−2x−8|=x2−2x−8∴x2−2x−8=0
となります。
この場合分けのxの範囲とx≦−1,3≦xの共通範囲は
.png)
x≦−1,3≦xかつ−2<x<4 ⟹ 3≦x<4x≦−1,3≦xかつx≦−2,4≦x ⟹ x≦−2,4≦x
それぞれの場合における方程式を解くと
−2<x≦−1,3≦x<4のとき−x2+2x+8=0x2−2x−8=0(x+2)(x−4)=0x=−2,4x≦−2,4≦xのときx2−2x−8=0(x+2)(x−4)=0x=−2,4
となるためx≦−1,3≦xにおける解はx=−2,4です。
以上より、(3)の解はx=−2,4となります。
.png)
|
| 左辺と右辺とそれぞれグラフで表すと |
(4)||x2+3x−18|+x−3|=0
内側の絶対値の中身x2+3x−18の正負について考えると
.png)
.png)
x2+3x−18<0すなわち−6<x<3のとき|x2+3x−18|=−(x2+3x−18)=−x2−3x+18x2+3x−18≧0すなわちx≦−6,3≦xのとき|x2+3x−18|=x2+3x−18
となります。
このことから内側の絶対値記号を外すと
{−6<x<3のとき|(−x2−3x+18)+x−3|=|−x2−2x+15|=0x≦−6,3≦xのとき|(x2+3x−18)+x−3|=|x2+4x−21|=0
となります。
それぞれの方程式を解くと
−6<x<3のとき
絶対値記号を外すと方程式は
.png)
この場合分けのxの範囲と−6<x<3の共通範囲は
.png)
.png)
−x2−2x+15<0すなわちx<−5,3<xのとき|−x2−2x+15|=−(−x2−2x+15)=x2+2x−15∴x2+2x−15=0−x2−2x+15≧0すなわち−5≦x≦3のとき|−x2−2x+15|=−x2−2x+15∴−x2−2x+15=0
となります。
この場合分けのxの範囲と−6<x<3の共通範囲は
.png)
−6<x<3かつx<−5,3<x ⟹ −6<x<−5−6<x<3かつ−5≦x≦3 ⟹ −5≦x<3
それぞれの場合における方程式を解くと
−6<x<−5のときx2+2x−15=0(x+5)(x−3)=0x=−5,3−5≦x<3のとき−x2−2x+15=0−(x+5)(x−3)=0x=−5,3x=−5(∵−5≦x<3)
となるため−6<x<3における解はx=−5となります。
x≦−6,3≦xのとき
絶対値記号を外すと方程式は
.png)
この場合分けのxの範囲とx≦−6,3≦xの共通範囲は
.png)
.png)
x2+4x−21<0すなわち−7<x<3のとき|x2+4x−21|=−(x2+4x−21)=−x2−4x+21∴−x2−4x+21=0x2+4x−21≧0すなわちx≦−7,3≦xのとき|x2+4x−21|=x2+4x−21∴x2+4x−21=0
となります。
この場合分けのxの範囲とx≦−6,3≦xの共通範囲は
.png)
x≦−6,3≦xかつ−7<x<3 ⟹ −7<x≦6≦−6,3≦xかつx≦−7,3≦x ⟹ x≦−7,3≦x
それぞれの場合における方程式を解くと
−7<x≦−6のとき−x2−4+21=0−(x+7)(x−3)=0x=−7,3x≦−7,3≦xのときx2+4x−21=0(x+7)(x−3)=0x=−7,3
となるためx≦−6,3≦xにおける解はx=−7,3となります。
以上より(4)の解はx=−7,−5,3となります。
.png)
|
| 右辺と左辺をそれぞれグラフで表すと |
Share:
.png)
