「2次方程式
−x2+2kx+k2−1=0が次の条件を満たす
kを求めよ。
(1)2解ともに正
(2)2解ともに−1以下
(3)2解の符号が異なる」
(1)2解ともに正
2次方程式が2解ともに正になる条件はグラフを使って考えます。
2次方程式ax2+bx+c=0 (a<0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフがx軸との共有点がx軸の正の部分に存在するためには
- 2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ):D≧0
- 軸がx軸の正の部分にある:−b2a>0
- f(0)が負:f(0)<0
の3条件を満たしている必要があります。
このことから、
2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ)
D=(2k)2−4⋅(−1)⋅(k2−1)=4k2+4k2−4=8k2−4≧02k2−1≧0(√2k+1)(√2k−1)≧0k≦−√22,√22≦k⋯(a)
であるから必ず2解を持ちます。
軸がx軸の正の部分にある
−b2a=−2k2⋅(−1)=k>0⋯(b)
f(0)が負
f(0)=k2−1<0(k+1)(k−1)<0−1<k<1⋯(c)
したがって、(a)、(b)、(c)より2次方程式
−x2+2kx+k2−1=0が2解とも正である条件は
√22≦k<1となります。
(2)2解とも−1以下
(1)と同様に2次方程式ax2+bx+c=0 (a<0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフとx軸との共有点がx=−1以下に存在するためには
- 2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ):D≧0
- 軸がx≦−1の範囲にある:−b2a≦−1
- f(−1)が0以下:f(−1)≦0
の3条件を満たしている必要があります。
このことから、
2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ)
(a)より
k≦−√22,√22≦k
軸がx≦−1の範囲にある
−b2a=k≦−1⋯(d)
f(−1)が0以下
f(−1)=(−1)2+2k⋅(−1)+k2−1=k2−2k≦0k(k−2)≦00≦k≦2⋯(e)
したがって、(a)、(d)、(e)より2次方程式
−x2+2kx+k2−1=0が2解とも
−1以下である条件は存在しないとなります。
(3)2解の符号が異なる
2次方程式ax2+bx+c=0 (a<0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフとx軸との2つの共有点のx座標の符号が異なるためには
上図のように
f(0)が正である必要があります。
a<0のとき、2次関数のグラフは上に凸なのでyが常に負であるならばx軸と共有点を持つことはなく、逆にyが正になる部分があれば必ずx軸と異なる2つの共有点を持ちます。
また、yが正になる部分のxの範囲にx=0が含まれていれば共有点はx軸の負の部分と正の部分に1つづつ存在する、すなわちそれぞれの共有点のx座標の符号が異なることになります。
このことから、
f(0)=k2−1<0(k+1)(k−1)>0k<−1,1<k
となります。
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