2次方程式の2解が○○である条件 ~ 数学について考えてみる

2022年8月13日

2次方程式の2解が○○である条件

PLUMBAGO

「2次方程式

- x^{2} + 2 k x + k^{2} - 1 = 0

$-x^2+2kx+k^2-1=0$ が次の条件を満たす

k

$k$ を求めよ。

(1)2解ともに正

(2)2解ともに $-1$ 以下

(3)2解の符号が異なる」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

(1)2解ともに正

　2次方程式が2解ともに正になる条件はグラフを使って考えます。

2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0 (a < 0)

$ax^2+bx+c=0\ (a<0)$ について、

f (x) = a x^{2} + b x + c

$f(x)=ax^2+bx+c$ として

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフがx軸との共有点がx軸の正の部分に存在するためには

上図のように

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）： $D\geqq0$
軸がx軸の正の部分にある： $-\dfrac{b}{2a}>0$
$f(0)$ が負： $f(0)<0$

の3条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）

$\begin{align*}D&=(2k)^2-4\cdot(-1)\cdot(k^2-1)\\ \\ &=4k^2+4k^2-4\\ \\ &=8k^2-4\geqq0\\ \\ &2k^2-1\geqq0\\ \\ &(\sqrt{2}k+1)(\sqrt{2}k-1)\geqq0\\ \\ &k\leqq-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq k&\cdots(a)\end{align*}$
であるから必ず2解を持ちます。

軸がx軸の正の部分にある

$\begin{align*}-\frac{b}{2a}&=-\frac{2k}{2\cdot(-1)}\\ \\ &=k>0&\cdots(b)\end{align*}$

$f(0)$ が負

\begin{aligned} f (0) = k^{2} - 1 & < 0 \\ (k + 1) (k - 1) & < 0 \\ - 1 < & k < 1 & \dots (c) \end{aligned}

$\begin{align*}f(0)=k^2-1&<0\\ \\ (k+1)(k-1)&<0\\ \\ -1<&k<1&\cdots(c)\end{align*}$

　したがって、(a)、(b)、(c)より2次方程式

- x^{2} + 2 k x + k^{2} - 1 = 0

$-x^2+2kx+k^2-1=0$ が2解とも正である条件は

\frac{\sqrt{2}}{2} ≦ k < 1

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq k<1$ となります。

(2)2解とも $-1$ 以下

　(1)と同様に2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0 (a < 0)

$ax^2+bx+c=0\ (a<0)$ について、

f (x) = a x^{2} + b x + c

$f(x)=ax^2+bx+c$ として

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフとx軸との共有点が

x = - 1

$x=-1$ 以下に存在するためには

上図のように

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）： $D\geqq0$
軸が $x\leqq-1$ の範囲にある： $-\dfrac{b}{2a}\leqq-1$
$f(-1)$ が $0$ 以下： $f(-1)\leqq0$

の3条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）

(a)より

k ≦ - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} ≦ k

$k\leqq-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq k$

軸が $x\leqq-1$ の範囲にある

- \frac{b}{2 a} = k ≦ - 1 \dots (d)

$-\frac{b}{2a}=k\leqq-1\qquad\cdots(d)$

$f(-1)$ が $0$ 以下

\begin{aligned} f (- 1) & = (- 1)^{2} + 2 k \cdot (- 1) + k^{2} - 1 \\ = k^{2} - 2 k ≦ 0 \\ k (k - 2) ≦ 0 \\ 0 ≦ k ≦ 2 & \dots (e) \end{aligned}

$\begin{align*}f(-1)&=(-1)^2+2k\cdot(-1)+k^2-1\\ \\ &=k^2-2k\leqq0\\ \\ &k(k-2)\leqq0\\ \\ &0\leqq k\leqq2&\cdots(e)\end{align*}$

　したがって、(a)、(d)、(e)より2次方程式

- x^{2} + 2 k x + k^{2} - 1 = 0

$-x^2+2kx+k^2-1=0$ が2解とも

- 1

$-1$ 以下である条件は存在しないとなります。

(3)2解の符号が異なる

　2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0 (a < 0)

$ax^2+bx+c=0\ (a<0)$ について、

f (x) = a x^{2} + b x + c

$f(x)=ax^2+bx+c$ として

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフとx軸との2つの共有点のx座標の符号が異なるためには

上図のように

f (0)

$f(0)$ が正である必要があります。

$a<0$ のとき、2次関数のグラフは上に凸なのでyが常に負であるならばx軸と共有点を持つことはなく、逆にyが正になる部分があれば必ずx軸と異なる2つの共有点を持ちます。
また、yが正になる部分のxの範囲に $x=0$ が含まれていれば共有点はx軸の負の部分と正の部分に1つづつ存在する、すなわちそれぞれの共有点のx座標の符号が異なることになります。