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2022年8月13日

2次方程式の2解が○○である条件

「2次方程式x2+2kx+k21=0が次の条件を満たすkを求めよ。

(1)2解ともに正

(2)2解ともに1以下

(3)2解の符号が異なる」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

(1)2解ともに正

 2次方程式が2解ともに正になる条件はグラフを使って考えます。
2次方程式ax2+bx+c=0 (a<0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフがx軸との共有点がx軸の正の部分に存在するためには
ax^2+bx+c=0 (a<0)の2解が正であるとき
上図のように
  • 2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ):D0
  • 軸がx軸の正の部分にある:b2a>0
  • f(0)が負:f(0)<0
の3条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ)

D=(2k)24(1)(k21)=4k2+4k24=8k2402k210(2k+1)(2k1)0k22,22k(a)
であるから必ず2解を持ちます。

軸がx軸の正の部分にある

b2a=2k2(1)=k>0(b)

f(0)が負

f(0)=k21<0(k+1)(k1)<01<k<1(c)

 したがって、(a)、(b)、(c)より2次方程式x2+2kx+k21=0が2解とも正である条件は22k<1となります。

(2)2解とも1以下

 (1)と同様に2次方程式ax2+bx+c=0 (a<0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフとx軸との共有点がx=1以下に存在するためには
ax^2+bx+c=0 (a<0)の2解が-1以下のとき
上図のように
  • 2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ):D0
  • 軸がx1の範囲にある:b2a1
  • f(1)0以下:f(1)0
の3条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ)

(a)より
k22,22k

軸がx1の範囲にある

b2a=k1(d)

f(1)0以下

f(1)=(1)2+2k(1)+k21=k22k0k(k2)00k2(e)

共通範囲なし
 したがって、(a)、(d)、(e)より2次方程式x2+2kx+k21=0が2解とも1以下である条件は存在しないとなります。

(3)2解の符号が異なる

 2次方程式ax2+bx+c=0 (a<0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフとx軸との2つの共有点のx座標の符号が異なるためには
ax^2+bx+c=0 (a<0)の2解が異符号のとき
上図のようにf(0)が正である必要があります。

a<0のとき、2次関数のグラフは上に凸なのでyが常に負であるならばx軸と共有点を持つことはなく、逆にyが正になる部分があれば必ずx軸と異なる2つの共有点を持ちます。
また、yが正になる部分のxの範囲にx=0が含まれていれば共有点はx軸の負の部分と正の部分に1つづつ存在する、すなわちそれぞれの共有点のx座標の符号が異なることになります。

このことから、
f(0)=k21<0(k+1)(k1)>0k<1,1<k
となります。

関連:2次方程式が2解を持つ条件

関連:2次方程式の解の公式と判別式

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