1辺の長さが1の正五角形の幅と高さは？ ~ 数学について考えてみる

2022年8月6日

1辺の長さが1の正五角形の幅と高さは？

PLUMBAGO

　1辺の長さが

1

$1$ の正五角形

A B C D E

$ABCDE$ の

C D

$CD$ を底辺としたとき、正五角形の幅と高さはいくつになるかを調べてみます。

正五角形の幅

　正五角形の幅は上図においては2点

B, E

$B,E$ を結ぶ線分の長さとなります。この長さを調べるために

△ A B E

$△ABE$ に着目します。

正五角形

A B C D E

$ABCDE$ の1つの内角の大きさは

108 °

$108°$ なので、

△ A B E

$△ABE$ は頂角が

108 °

$108°$ 、等辺の長さが

1

$1$ の二等辺三角形です。

余弦定理より

B E^{2} = A B^{2} + A E^{2} - 2 A B \cdot A E cos ∠ B A E

$BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cos∠BAE$

なので、

\begin{matrix} B E^{2} & = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos 108 ° = 2 - 2 cos 108 ° \end{matrix}

$\begin{align*}BE^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}$

ここで、

\begin{matrix} cos 108 ° & = cos (180 ° - 72 °) = - cos 72 ° = - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \end{matrix}

$\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\[0.5em]&=-\cos72°\\[0.5em]&=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}$

となるので、

$\begin{align*}BE^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\[1em]BE&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because BE>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\[0.5em]&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}$

であるとわかります。

正五角形の高さ

　正五角形の高さは頂点

$A$ から

$CD$ に垂線を下ろし、その足を

$M$ としたときの

$AM$ の長さとなります。

$M$ は

$CD$ の中点でもあります。

$AM$ の長さを調べるために

$△ACD$ に着目します。

$△ABC$ と

$△ADE$ は

$△ABE$ と合同で、

$AC,AD$ は

$BE$ と長さが等しいので

$△ACD$ は二等辺三角形です。
また、

$△ABE$ の底角は

$36°$ 、

$∠BAE$ は正五角形の内角より

$108°$ なので

$\begin{align*}∠CAD&=108°-2×36°\\[0.5em]&=36°\end{align*}$

となります。

参考：三角比の求め方

$△ACD$ を

$AM$ で分割すると鋭角の1つが

$18°$ の直角三角形2つに分かれるので、

$△ACM$ に着目して三角比を利用して

$AM$ の長さを求めると

$AM=AC\tan18°$

となります。
ここで、

$AC=BE$ なので

$AC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\tan18°$ は

$\tan18°=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$

であることから

$\begin{align*}AC&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2(25-10\sqrt{5})}}{10}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}\end{align*}$

となります。

　以上から1辺の長さが

$1$ の正五角形の幅と高さは下図のようになります。