1辺の長さが1の正五角形の幅と高さは？ ~ 数学について考えてみる

　1辺の長さが$1$の正五角形$\text{ABCDE}$の辺$\text{CD}$を底辺としたとき、この正五角形の幅と高さはいくらになるでしょうか？

正五角形の幅

　正五角形$\text{ABCDE}$の幅は、正五角形$\text{ABCDE}$上の任意の2点を結んでできる線分のうち底辺$\text{CD}$と平行なものの長さの最大値とし、これは対角線$\text{BE}$の長さとなります。

　正五角形$\text{ABCDE}$を対角線$\text{BE}$で分割してできる$△\text{ABE}$に着目します。
辺$\text{AB},\text{AE}$は正五角形の1辺でもあるので長さは$1$であり、$△\text{ABE}$は$\text{AB}=\text{AE}=1$である二等辺三角形です。
頂角$∠\text{BAE}$は正五角形の内角でもあるので、大きさは$108°$です。

余弦定理より

\begin{align*}\text{BE}^2&=\text{AB}^2+\text{AE}^2-2\text{AB}\cdot \text{AE}\cos\angle \text{BAE}\\[0.5em]&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}

$\cos108°=-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$なので

\begin{align*}\text{BE}^2&=2-2\cdot\left(-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\\[0.5em]&=2+\frac{2\sqrt{5}-2}{4}\\[0.5em]&=\frac{8}{4}+\frac{2\sqrt{5}-2}{4}\\[0.5em]&=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]&=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}\\[0.5em]&=\frac{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{5}+\bigl(\sqrt{5}\bigr)^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}&\bigl(\because x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\bigr)\\[0.5em]&=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2&\left(\because\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\right)\\[0.5em]\text{BE}&=\left|\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right|&\bigl(\because\sqrt{x^2}=|x|\bigr)\\[0.5em]\therefore \text{BE}&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}

となり、$\text{BE}$の長さが求まります。

したがって、正五角形の幅は$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$であることがわかります。

正五角形の高さ

　正五角形$\text{ABCDE}$の高さは、正五角形$\text{ABCDE}$上の点から辺$\text{CD}$またはその延長へおろした垂線の長さの最大値のことであり、これは頂点$\text{A}$から辺$\text{CD}$へおろした垂線の長さとなります。

　正五角形$\text{ABCDE}$を対角線$\text{AC}$と$\text{AD}$で分割してできる$△\text{ACD}$に着目します。

ここで、$△\text{ABE}$と$△\text{BCA}$に着目すると、$\text{AB}=\text{BC}=1,$ $\text{AE}＝\text{BA}=1,$ $∠\text{BAE}=∠\text{CBA}=108°$より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから、$\text{BE}=\text{CA}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$です。

$△\text{ABE}$と$△\text{EAD}$に着目すると、$\text{AB}=\text{EA}=1,$ $\text{AE}=\text{ED}=1,$ $∠\text{BAE}=∠\text{AED}=108°$より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから、$\text{BE}=\text{AD}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$です。

したがって、$△\text{ACD}$は$\text{AC}=\text{AD}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$である二等辺三角形であることがわかります。

また、$△\text{BCA}$と$△\text{EAD}$の底角$∠\text{BAC}, ∠\text{EAD}$の大きさは、頂角の大きさが$108°$であることから$\dfrac{180°-108°}{2}=36°$です。

したがって、$△\text{ACD}$の頂角$∠\text{CAD}$の大きさは

\begin{align*}\angle \text{CAD}&=\angle \text{BAE}-(\angle \text{BAC}+\angle \text{EAD})\\[0.5em]&=108°-(36°+36°)\\[0.5em]&=36°\end{align*}

であることがわかります。

$△\text{ACD}$の高さは頂点$\text{A}$から辺$\text{CD}$へおろした垂線の長さであり、正五角形$\text{ABCDE}$の高さに等しいです。

$△\text{ACD}$の面積から$△\text{ACD}$の高さ、すなわち正五角形$\text{ABCDE}$の高さを求めます。

$△\text{ACD}$の面積は

\begin{align*}\triangle \text{ACD}&=\frac{1}{2}\text{AC}\cdot \text{AD}\sin\angle \text{CAD}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}\sin36°\\[0.5em]&=\frac{6+2\sqrt{5}}{8}\sin36°\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\sin36°\end{align*}

$\sin36°=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$なので

\begin{align*}\triangle \text{ACD}&=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\bigl(3+\sqrt{5}\bigr)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{\bigl(3+\sqrt{5}\bigr)^2\bigl(10-2\sqrt{5}\bigr)}}{16}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{\bigl(14+6\sqrt{5}\bigr)\bigl(10-2\sqrt{5}\bigr)}}{16}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{16\bigl(5+2\sqrt{5}\bigr))}}{16}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}\end{align*}

と求まります。

また、$△\text{ACD}$の面積は高さを$h$とおくと

\[\triangle \text{ACD}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot \text{CD}\]

によっても求められます。

$\text{CD}=1$なので

\begin{align*}\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}&=\frac{1}{2}\cdot h\cdot1\\[0.5em]&=\frac{1}{2}h\\[0.5em]h&=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}\times2\\[0.5em]\therefore h&=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\end{align*}

となり、$△\text{ACD}$の高さ$h$が求まります。

したがって、正五角形$\text{ABCDE}$の高さは$\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}$であることがわかります。

　以上より、1辺の長さが$1$の正五角形の幅と高さは以下のようになります。