.png)
正五角形の幅
正五角形の幅は上図においては2点$B,E$を結ぶ線分の長さとなります。この長さを調べるために$△ABE$に着目します。
余弦定理より
\[BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cos∠BAE\]
なので、
\begin{align*}BE^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}
ここで、
\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\[0.5em]&=-\cos72°\\[0.5em]&=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}
となるので、
\begin{align*}BE^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\[1em]BE&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because
BE>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\[0.5em]&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}
であるとわかります。
正五角形の高さ
.png)
$AM$の長さを調べるために$△ACD$に着目します。
$△ABC$と$△ADE$は$△ABE$と合同で、$AC,AD$は$BE$と長さが等しいので$△ACD$は二等辺三角形です。
また、$△ABE$の底角は$36°$、$∠BAE$は正五角形の内角より$108°$なので
$△ABC$と$△ADE$は$△ABE$と合同で、$AC,AD$は$BE$と長さが等しいので$△ACD$は二等辺三角形です。
また、$△ABE$の底角は$36°$、$∠BAE$は正五角形の内角より$108°$なので
\begin{align*}∠CAD&=108°-2×36°\\[0.5em]&=36°\end{align*}
となります。
|
| 参考：三角比の求め方 |
\[AM=AC\tan18°\]
となります。ここで、$AC=BE$なので
\[AC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]
$\tan18°$は
\[\tan18°=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\]
であることから
\begin{align*}AC&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2(25-10\sqrt{5})}}{10}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}\end{align*}
となります。
以上から1辺の長さが$1$の正五角形の幅と高さは下図のようになります。
Share:
