1辺の長さが1の正五角形の幅と高さは？ ~ 数学について考えてみる

2022年8月6日

1辺の長さが1の正五角形の幅と高さは？

PLUMBAGO

　1辺の長さが$1$の正五角形$\text{ABCDE}$の$\text{CD}$を底辺としたとき、正五角形の幅と高さはいくつになるかを調べてみます。

正五角形の幅

　正五角形の幅は上図においては2点$\text{B},\text{E}$を結ぶ線分の長さとなります。この長さを調べるために$△\text{ABE}$に着目します。

正五角形$\text{ABCDE}$の1つの内角の大きさは$108°$なので、$△\text{ABE}$は頂角が$108°$、等辺の長さが$1$の二等辺三角形です。

余弦定理より

\[\text{BE}^2=\text{AB}^2+\text{AE}^2-2\text{AB}\cdot \text{AE}\cos∠\text{BAE}\]

なので、

\begin{align*}\text{BE}^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}

ここで、

\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\[0.5em]&=-\cos72°\\[0.5em]&=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}

となるので、

\begin{align*}\text{BE}^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\[1em]\text{BE}&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because \text{BE}>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\[0.5em]&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}

であるとわかります。

正五角形の高さ

　正五角形の高さは頂点$\text{A}$から$\text{CD}$に垂線を下ろし、その足を$\text{M}$としたときの$\text{AM}$の長さとなります。$\text{M}$は$\text{CD}$の中点でもあります。

$\text{AM}$の長さを調べるために$△\text{ACD}$に着目します。
$△\text{ABC}$と$△\text{ADE}$は$△\text{ABE}$と合同で、$\text{AC},\text{AD}$は$\text{BE}$と長さが等しいので$△\text{ACD}$は二等辺三角形です。
また、$△\text{ABE}$の底角は$36°$、$∠\text{BAE}$は正五角形の内角より$108°$なので

\begin{align*}∠\text{CAD}&=108°-2×36°\\[0.5em]&=36°\end{align*}

となります。

参考：三角比の求め方

$△\text{ACD}$を$\text{AM}$で分割すると鋭角の1つが$18°$の直角三角形2つに分かれるので、$△\text{ACM}$に着目して三角比を利用して$\text{AM}$の長さを求めると

\[\text{AM}=\text{AC}\cos18°\]

となります。
ここで、$\text{AC}=\text{BE}$なので

\[\text{AC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

$\cos18°$は

\[\cos18°=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\]

であることから

\begin{align*}\text{AM}&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2(10+2\sqrt{5})}}{8}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{8}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{16(5+2\sqrt{5})}}{8}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{8}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\end{align*}

となります。

　以上から1辺の長さが$1$の正五角形の幅と高さは下図のようになります。