1辺の長さが1の正五角形の幅と高さは？

　1辺の長さが$1$の正五角形$ABCDE$の$CD$を底辺としたとき、正五角形の幅と高さはいくつになるかを調べてみます。

正五角形の幅

　正五角形の幅は上図においては$BE$の長さとなります。この長さを調べるために$△ABE$に着目します。

正五角形$ABCDE$の1つの内角の大きさは$108°$なので、$△ABE$は頂角が$108°$、等辺の長さが$1$の二等辺三角形です。

余弦定理より
\[BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cos∠BAE\]
なので、
\begin{align*}BE^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cos108°\\ \\ &=2-2\cos108°\end{align*}

ここで、

\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\ \\ &=-\cos72°\\ \\ &=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}

となるので、

\begin{align*}BE^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \\ &=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ \\ BE&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because BE>0)\\ \\ &=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\ \\ &=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\ \\ &=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}

であるとわかります。

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正五角形の高さ

　正五角形の高さは頂点$A$から$CD$に垂線を下ろし、その足を$M$としたときの$AM$の長さとなります。$M$は$CD$の中点でもあります。

$AM$の長さを調べるために$△ACD$に着目します。
$△ABC$と$△ADE$は$△ABE$と合同で、$AC,AD$は$BE$と長さが等しいので$△ACD$は二等辺三角形です。
また、$△ABE$の底角は$36°$、$∠BAE$は正五角形の内角なので$108°$だから
\[∠CAD=108°-2×36°=36°\]
となります。

参考：三角比の求め方

$△ACD$を$AM$で分割すると鋭角の1つが$18°$の直角三角形2つに分かれるので、$△ACM$に着目して三角比を利用して$AM$の長さを求めると
\[AM=AC\tan18°\]
となります。
ここで$AC=BE$なので、
\[AC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]
$\tan18°$は
\[\tan18°=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\]
であるので、
\begin{align*}AC&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\\ \\ &=\frac{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2(25-10\sqrt{5})}}{10}\\ \\ &=\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}\end{align*}
となります。

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　以上から1辺の長さが$1$の正五角形の幅と高さは上のようになります。