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2022年8月13日

2次方程式の2解が○○である条件(2)

「2次方程式x2+3kx2k=0x2+3kx2k=0の2解が2x<12の範囲にあるときのkを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 2次方程式ax2+bx+c=0 (a>0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフを考えると2次方程式の解はx軸との共有点のことなので、
ax^2+bx+c=0 (a>0)の2解が-2≦x<1/2内に存在するための条件
上図のように2x<12の範囲に共有点があるためには
  • 2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ):D0
  • 軸が2x<12の範囲に存在する:2b2a<12
  • f(2)0以上:f(2)0
  • f(12)0より大きい:f(12)>0
の4条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ)

D=(3k)24(2k)=9k2+8k09k(k+89)0k89,0k(a)

軸が2x<12の範囲に存在する

b2a=3k223k2<1243k<113<k43(b)

f(2)0以上

f(2)=(2)2+3k(2)2k=8k+408k4k12(c)

f(12)0より大きい

f(12)=(12)2+3k122k=12k+14>012k>14k<12(d)

したがって、(a),(b),(c),(d)より0k<12となります。

関連:2次方程式の2解が○○である条件

関連:2次方程式が2解を持つ条件

関連:2次方程式の解の公式と判別式

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