2次方程式の2解が○○である条件(2)

「2次方程式$x^2+3kx-2k=0$の2解が$-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$の範囲にあるときの$k$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　2次方程式$ax^2+bx+c=0\ (a>0)$について、$f(x)=ax^2+bx+c$として$y=f(x)$のグラフを考えると2次方程式の解はx軸との共有点のことなので、

上図のように$-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$の範囲に共有点があるためには

• 2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）：$D\geqq0$
• 軸が$-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$の範囲に存在する：$-2\leqq-\dfrac{b}{2a}<\dfrac{1}{2}$
• $f(-2)$が$0$以上：$f(-2)\geqq0$
• $f(\dfrac{1}{2})$が$0$より大きい：$f(\dfrac{1}{2})>0$

の4条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）

$$\begin{align*}D=(3k)^2-4\cdot(-2k)\\ \\ =9k^2+8k&\geqq0\\ \\ 9k(k+\frac{8}{9})&\geqq0\\ \\ k\leqq-\frac{8}{9},&0\leqq k&\cdots(a)\end{align*}$$

軸が$-2\leqq x<\tfrac{1}{2}$の範囲に存在する

$$\begin{align*}-\frac{b}{2a}&=-\frac{3k}{2}\\ \\ -2\leqq&-\frac{3k}{2}<\frac{1}{2}\\ \\ -4\leqq&-3k<1\\ \\ -\frac{1}{3}<&k\leqq\frac{4}{3}&\cdots(b)\end{align*}$$

$f(-2)$が$0$以上

$$\begin{align*}f(-2)=(-2)^2+3k\cdot(-2)-2k\\ \\ =-8k+4&\geqq0\\ \\ -8k&\geqq-4\\ \\ k\leqq\frac{1}{2}&\cdots(c)\end{align*}$$

$f(\tfrac{1}{2})$が$0$より大きい

$$\begin{align*}f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2+3k\cdot\frac{1}{2}-2k\\ \\ =-\frac{1}{2}k+\frac{1}{4}&>0\\ \\ -\frac{1}{2}k&>-\frac{1}{4}\\ \\ k&<\frac{1}{2}&\cdots(d)\end{align*}$$

したがって、(a),(b),(c),(d)より$0\leqq k<\dfrac{1}{2}$となります。

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