「2次方程式x2+3kx−2k=0x2+3kx−2k=0の2解が−2≦x<12の範囲にあるときのkを求めよ。」
2次方程式ax2+bx+c=0 (a>0)について、f(x)=ax2+bx+cとしてy=f(x)のグラフを考えると2次方程式の解はx軸との共有点のことなので、
- 2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ):D≧0
- 軸が−2≦x<12の範囲に存在する:−2≦−b2a<12
- f(−2)が0以上:f(−2)≧0
- f(12)が0より大きい:f(12)>0
の4条件を満たしている必要があります。
このことから、
2解を持つ(1つ以上の共有点を持つ)
D=(3k)2−4⋅(−2k)=9k2+8k≧09k(k+89)≧0k≦−89,0≦k⋯(a)
軸が−2≦x<12の範囲に存在する
−b2a=−3k2−2≦−3k2<12−4≦−3k<1−13<k≦43⋯(b)
f(−2)が0以上
f(−2)=(−2)2+3k⋅(−2)−2k=−8k+4≧0−8k≧−4k≦12⋯(c)
f(12)が0より大きい
f(12)=(12)2+3k⋅12−2k=−12k+14>0−12k>−14k<12⋯(d)
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