2次方程式の2解が○○である条件(2) ~ 数学について考えてみる

2022年8月13日

2次方程式の2解が○○である条件(2)

PLUMBAGO

「2次方程式 $x^2+3kx-2k=0$ の2解が $-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$ の範囲にあるときの $k$ を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)

$ax^2+bx+c=0\ (a>0)$ について、

f (x) = a x^{2} + b x + c

$f(x)=ax^2+bx+c$ として

y = f (x)

$y=f(x)$ のグラフを考えると2次方程式の解はx軸との共有点のことなので、

ax^2+bx+c=0 (a>0)の2解が-2≦x<1/2内に存在するための条件

上図のように

- 2 ≦ x < \frac{1}{2}

$-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$ の範囲に共有点があるためには

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）： $D\geqq0$
軸が $-2\leqq x<\dfrac{1}{2}$ の範囲に存在する： $-2\leqq-\dfrac{b}{2a}<\dfrac{1}{2}$
$f(-2)$ が $0$ 以上： $f(-2)\geqq0$
$f(\dfrac{1}{2})$ が $0$ より大きい： $f(\dfrac{1}{2})>0$

の4条件を満たしている必要があります。

このことから、

2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）

$\begin{align*}D=(3k)^2-4\cdot(-2k)\\ \\ =9k^2+8k&\geqq0\\ \\ 9k(k+\frac{8}{9})&\geqq0\\ \\ k\leqq-\frac{8}{9},&0\leqq k&\cdots(a)\end{align*}$

軸が $-2\leqq x<\tfrac{1}{2}$ の範囲に存在する

$\begin{align*}-\frac{b}{2a}&=-\frac{3k}{2}\\ \\ -2\leqq&-\frac{3k}{2}<\frac{1}{2}\\ \\ -4\leqq&-3k<1\\ \\ -\frac{1}{3}<&k\leqq\frac{4}{3}&\cdots(b)\end{align*}$

$f(-2)$ が $0$ 以上

$\begin{align*}f(-2)=(-2)^2+3k\cdot(-2)-2k\\ \\ =-8k+4&\geqq0\\ \\ -8k&\geqq-4\\ \\ k\leqq\frac{1}{2}&\cdots(c)\end{align*}$

$f(\tfrac{1}{2})$ が $0$ より大きい

\begin{aligned} f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 k \cdot \frac{1}{2} - 2 k \\ = - \frac{1}{2} k + \frac{1}{4} & > 0 \\ - \frac{1}{2} k & > - \frac{1}{4} \\ k & < \frac{1}{2} & \dots (d) \end{aligned}

$\begin{align*}f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2+3k\cdot\frac{1}{2}-2k\\ \\ =-\frac{1}{2}k+\frac{1}{4}&>0\\ \\ -\frac{1}{2}k&>-\frac{1}{4}\\ \\ k&<\frac{1}{2}&\cdots(d)\end{align*}$