定積分の1/6公式

　定積分には

$$\Large \int_\alpha^\beta{(x-\alpha)(x-\beta)dx}=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$

で表される1/6公式というものがあります。

なぜ、これが成り立つのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。

1. 展開して積分

$$\begin{align*}&\int_\alpha^\beta{(x-\alpha)(x-\beta)dx}\\[0.5em]&=\int_\alpha^\beta\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\}dx\\[0.5em]&=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{\alpha+\beta}{2}x^2+\alpha\beta x\right]_\alpha^\beta\\[0.5em]&=\frac{1}{6}\left[2x^3-3(\alpha+\beta)x^2+6\alpha\beta x\right]_\alpha^\beta\\[0.5em]&=\frac{1}{6}\left\{2(\beta^3-\alpha^3)-3(\alpha+\beta)(\beta^2-\alpha^2)+6\alpha\beta(\beta-\alpha)\right\}\\[0.5em]&=\frac{1}{6}\left\{2(\beta^3-\alpha^3)-3(\beta^3+\alpha\beta^2-\alpha^2\beta-\alpha^3)+6(\alpha\beta^2-\alpha^2\beta)\right\}\\[0.5em]&=\frac{1}{6}\left(-\beta^3+3\alpha\beta^2-3\alpha^2\beta+\alpha^3\right)\\[0.5em]&=-\frac{1}{6}\left(\beta^3-3\alpha\beta^2+3\alpha^2\beta-\alpha^3\right)\\[0.5em]&=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\end{align*}$$

2. 部分積分の利用

部分積分の公式

$$\int_a^b\left\{f(x)g'(x)\right\}dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b\left\{f'(x)g(x)\right\}dx$$

より$g'(x)=x-\beta$とすると$g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\beta x+C\ (C:積分定数)$なので

$$\begin{align*}&\int_\alpha^\beta{(x-\alpha)(x-\beta)dx}\\[0.5em]&=\left[(x-\alpha)\left(\frac{1}{2}x^2-\beta x+C\right)\right]_\alpha^\beta-\int_\alpha^\beta\left(\frac{1}{2}x^2-\beta x+C\right)dx\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\left[(x-\alpha)(x^2-2\beta x+2C)\right]_\alpha^\beta-\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}\beta x^2+Cx\right]_\alpha^\beta\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)(-\beta^2+2C)-\frac{1}{6}\left[x(x^2-3\beta x+6C)\right]_\alpha^\beta\\[0.5em]&=-\frac{1}{2}\beta^2(\beta-\alpha)+C(\beta-\alpha)\\ &\quad-\frac{1}{6}\left\{\beta(-2\beta^2+6C)-\alpha(\alpha^2-3\beta\alpha+6C)\right\}\\[0.5em]&=-\frac{1}{2}\beta^3+\frac{1}{2}\beta^2\alpha+C(\beta-\alpha)\\ &\quad+\frac{1}{3}\beta^3+\frac{1}{6}\alpha^3-\frac{1}{2}\beta\alpha^2-C(\beta-\alpha)\\[0.5em]&=-\frac{1}{6}\beta^3+\frac{1}{2}\beta^2\alpha-\frac{1}{2}\beta\alpha^2+\frac{1}{6}\alpha^3\\[0.5em]&=-\frac{1}{6}(\beta^3-3\beta^2\alpha+3\beta\alpha^2-\alpha^3)\\[0.5em]&=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\end{align*}$$

　$x^2$の係数が$1$の2次関数$y=x^2+bx+c$の因数分解形は$y=(x-\alpha)(x-\beta)$であるため上記の式となりますが、$x^2$の係数が$0$以外の任意の係数$a$である2次関数$y=ax^2+bx+c$の場合は因数分解形が$y=a(x-\alpha)(x-\beta)$であるため、両辺を$a$倍した

$$a\int_\alpha^\beta{(x-\alpha)(x-\beta)dx}=-\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$$

となります。

面積を求める場合は少し形が変わる点に注意です。

定積分の値は符号が正負どちらになる場合もあるので、面積$S$を求める場合は定積分の絶対値を考えます。

$$\begin{align*}S&=\left|a\int_\alpha^\beta{(x-\alpha)(x-\beta)dx}\right|\\[0.5em]&=\left|-\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3\right|&(\because |-a|=|a|)\\[0.5em]&=\left|\frac{a}{6}\right|\left|(\beta-\alpha)^3\right|\\[0.5em]&=\frac{|a|}{6}\left|(\beta-\alpha)^3\right|\end{align*}$$

ここで、面積を求めるときは$\alpha<\beta$となるようにすると、$(\beta-\alpha)^3$は必ず正になるので、係数$a$のみに絶対値記号が付きます。

したがって、2次関数$y=a(x-\alpha)(x-\beta)$とx軸に囲まれた部分の面積$S$は

$$S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$$

となります。