定積分には
∫βα(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3∫βα(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3
で表される1/6公式というものがあります。
なぜ、これが成り立つのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。
1. 展開して積分
∫βα(x−α)(x−β)dx=∫βα{x2−(α+β)x+αβ}dx=[13x3−α+β2x2+αβx]βα=16[2x3−3(α+β)x2+6αβx]βα=16{2(β3−α3)−3(α+β)(β2−α2)+6αβ(β−α)}=16{2(β3−α3)−3(β3+αβ2−α2β−α3)+6(αβ2−α2β)}=16(−β3+3αβ2−3α2β+α3)=−16(β3−3αβ2+3α2β−α3)=−16(β−α)3∫βα(x−α)(x−β)dx=∫βα{x2−(α+β)x+αβ}dx=[13x3−α+β2x2+αβx]βα=16[2x3−3(α+β)x2+6αβx]βα=16{2(β3−α3)−3(α+β)(β2−α2)+6αβ(β−α)}=16{2(β3−α3)−3(β3+αβ2−α2β−α3)+6(αβ2−α2β)}=16(−β3+3αβ2−3α2β+α3)=−16(β3−3αβ2+3α2β−α3)=−16(β−α)3
2. 部分積分の利用
部分積分の公式
∫ba{f(x)g′(x)}dx=[f(x)g(x)]ba−∫ba{f′(x)g(x)}dx∫ba{f(x)g′(x)}dx=[f(x)g(x)]ba−∫ba{f′(x)g(x)}dx
よりg′(x)=x−βg′(x)=x−βとするとg(x)=12x2+βx+C (C:積分定数)g(x)=12x2+βx+C (C:積分定数)なので
∫βα(x−α)(x−β)dx=[(x−α)(12x2−βx+C)]βα−∫βα(12x2−βx+C)dx=12[(x−α)(x2−2βx+2C)]βα−[16x3−12βx2+Cx]βα=12(β−α)(−β2+2C)−16[x(x2−3βx+6C)]βα=−12β2(β−α)+C(β−α)−16{β(−2β2+6C)−α(α2−3βα+6C)}=−12β3+12β2α+C(β−α)+13β3+16α3−12βα2−C(β−α)=−16β3+12β2α−12βα2+16α3=−16(β3−3β2α+3βα2−α3)=−16(β−α)3∫βα(x−α)(x−β)dx=[(x−α)(12x2−βx+C)]βα−∫βα(12x2−βx+C)dx=12[(x−α)(x2−2βx+2C)]βα−[16x3−12βx2+Cx]βα=12(β−α)(−β2+2C)−16[x(x2−3βx+6C)]βα=−12β2(β−α)+C(β−α)−16{β(−2β2+6C)−α(α2−3βα+6C)}=−12β3+12β2α+C(β−α)+13β3+16α3−12βα2−C(β−α)=−16β3+12β2α−12βα2+16α3=−16(β3−3β2α+3βα2−α3)=−16(β−α)3
x2x2の係数が11の2次関数y=x2+bx+cy=x2+bx+cの因数分解形はy=(x−α)(x−β)y=(x−α)(x−β)であるため上記の式となりますが、x2x2の係数が00以外の任意の係数aaである2次関数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cの場合は因数分解形がy=a(x−α)(x−β)y=a(x−α)(x−β)であるため、両辺をaa倍した
a∫βα(x−α)(x−β)dx=−a6(β−α)3a∫βα(x−α)(x−β)dx=−a6(β−α)3
となります。
面積を求める場合は少し形が変わる点に注意です。
定積分の値は符号が正負どちらになる場合もあるので、面積SSを求める場合は定積分の絶対値を考えます。
S=|a∫βα(x−α)(x−β)dx|=|−a6(β−α)3|=|a6(β−α)3|(∵|−a|=|a|)=|a6||(β−α)3|=|a|6|(β−α)3|S=∣∣∣a∫βα(x−α)(x−β)dx∣∣∣=∣∣−a6(β−α)3∣∣=∣∣a6(β−α)3∣∣(∵|−a|=|a|)=∣∣a6∣∣∣∣(β−α)3∣∣=|a|6∣∣(β−α)3∣∣
ここで、面積を求めるときはα<βα<βとなるようにすると、(β−α)3(β−α)3は必ず正になるので、係数aaのみに絶対値記号が付きます。
したがって、2次関数y=a(x−α)(x−β)y=a(x−α)(x−β)とx軸に囲まれた部分の面積SSは
S=|a|6(β−α)3S=|a|6(β−α)3
となります。
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