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2022年8月17日

通過算の問題 トンネルと列車の長さは?

「長さ62mの列車Aは秒速24mで走りトンネルを通過しきるのに13秒かかる。列車Bは同じトンネルを通過しきるのに9秒かかる。このとき列車Aと列車Bの速度の比は3:4であった。
トンネルと列車Bの長さはそれぞれ何mかを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 この問題を解くときに重要なのは列車がトンネルを通過しきるために走らなければならない距離、速度を利用した距離の求め方、そして比の計算です。

列車が走る距離

通過し切るのは列車+トンネルの長さを走ったとき
 列車がトンネルを通過し切るために走らなければならない距離について考えます。
この距離は列車の先頭がトンネルに入り、列車の最後尾がトンネルから出るまでの間に列車が走った距離です。
したがって、列車が走る距離はトンネルの長さと列車の長さの和となります。

速度を使って距離を求める


 速度を使って時間を求める方法は(距離)=(速度)×(時間)です。
み・は・じの図からも確認できます。

比の計算

 A:B=a:bという比例式ができたとき、外側の数同士と内側の数同士を掛け合わせた
Ab=aB
が成り立ちます。

列車Aに着目

 トンネルの長さをxmとおき、列車Aに着目します。
 列車Aがトンネルを通過しきるのに走らなければならない距離は列車Aの長さ62mとトンネルの長さxmの和なので、(62+x)mです。この距離を秒速24m、13秒で走るので、(距離)=(速度)×(時間)より
62+x=24\cdot13


という方程式ができます。

これを解くと
\begin{align*}62+x&=312\\ \\ x&=312-62\\ \\ &=250\end{align*}
よって、トンネルの長さは250mであるとわかります。

列車Bに着目

 次に列車Bに着目します。列車Bの長さはym、速度は秒速vmとおきます。
 列車Aと列車Bの速度はそれぞれ秒速24mと秒速vmで、この速度の比が3:4なので
24:v=3:4


という関係があります。この式から比例式の計算を利用してvを求めると
\begin{align*}3v&=24\cdot4\\ \\ &=96\\ \\ v&=32\end{align*}

となるので、列車Bの速度は秒速32mであるとわかります。

 列車Bがトンネルを通過しきるのに走らなければならない距離は列車Bの長さymとトンネルの長さ500mの和なので、(y+500)mです。この距離を秒速32m、9秒で走るので、(距離)=(速度)×(時間)より
y+250=32\cdot9
これを解くと
\begin{align*}y+250&=288\\ \\ y&=288-250\\ \\ &=38\end{align*}
よって、列車Bの長さは38mであるとわかります。

 以上から、答えはトンネルの長さ250m、列車Bの長さ38mとなります。

関連:旅人算の問題 追いつくまでにかかる時間と距離は?


画像:いらすとや(https://www.irasutoya.com/)(電車)
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