数列の和・差・積・商の極限まとめ

　収束または無限大に発散する数列の和・差・積・商の極限をまとめました。

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発散する数列と収束する数列の商の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の積・商の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の商の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{c_n}=0\end{gather*}

　ここからは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$α>0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}

$α<0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}

数列$\{a_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}

数列$\{a_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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発散する数列と収束する数列の積の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の積の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の積の極限

数列$\{a_n\}$について$α>0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a_n c_n=-\infty\end{gather*}

数列$\{a_n\}$について$α<0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a_n c_n=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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発散する数列と収束する数列の和・差の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の和・差の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +c_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の差の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(b_n -a_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n -a_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -c_n\bigr)=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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数列の大小関係を利用した極限の判定（はさみうちの原理、無限大に発散の判定）

　数列の大小関係を利用することで、極限のわからない数列の極限を判定する方法があります。
それは$N_0$を自然数として、次のようなものになります。

はさみうちの原理

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n≦c_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=α$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=α$が成り立つ。

正の無限大に発散を下から判定

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$が成り立つ。

負の無限大に発散を上から判定

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≧b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty$が成り立つ。

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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発散する数列の極限の性質②（四則演算）

　無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}d_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n +d_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の差の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -c_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(d_n -b_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の積の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}b_n c_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c_n d_n=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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発散する数列の極限の性質①（定数倍、逆数）

　無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$c$が正の定数のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=-\infty\end{gather*}

$c=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=0\end{gather*}

$c$が負の定数のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=\infty\end{gather*}

数列の逆数の極限

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項についてそれぞれ$a_n, b_n≠0$であるとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=0\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質③（四則演算）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]

数列の差の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]

数列の積の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]

数列の商の極限

　ここでは、数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$β≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]

数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質②（定数倍、逆数）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}$について

\[\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\]

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$k$を任意の実数とすると

\[\large \lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]

数列の逆数の極限

　ここでは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$α≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]

第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\]

第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=-\infty\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件③（εやKの範囲を制限かつεやKを正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件①」と「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件②」を組み合わせた同値な条件があります。

正の定数$c, ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質①（一意性、大小関係）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

極限の一意性

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n=b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha=\beta\]

極限の大小関係

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n≦b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha\leqq\beta\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

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収束する数列の性質（収束する数列と有界な数列）

数列$\{a_n\}$が収束するならば、すべての項において$|a_n|<K$を満たす正の数$K$が存在する。

といえます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②（εやKの正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。

正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①（εやKの範囲を制限）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には同値な条件があります。

正の定数$ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<ε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>K$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<L$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ②数列の極限・発散

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の発散の定義をみてみます。

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ①数列の極限・収束

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第n部分和の極限（級数）

　無限数列のすべての項の総和は、第$n$部分和をもとにして求めます。

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一般項が等差数列と等比数列の積となっている数列の第n部分和

　一般項が等差数列の一般項と等比数列の一般項の積となっている数列の第$n$部分和はどのように求めることができるでしょうか？

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階差数列とは？

　階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。

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数列の途中の項からの部分和

「次の部分和を求めよ。

(1)初項が$3$、公差が$4$の等差数列の第$5$項から第$10$項までの和

(2)初項が$-3$、公比が$2$の等比数列の第$3$項から第$7$項までの和」

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