座標平面上の点の回転移動

　平面上の点$(a, b)$が原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したとき、移動後の座標は

\[\large (a\cos\theta-b\sin\theta, a\sin\theta +b\cos\theta)\]

点$(p, q)$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動したとき、移動後の座標は

\[\large \bigl((a-p)\cos\theta-(b-q)\sin\theta +p, (a-p)\sin\theta +(b-q)\cos\theta +q\bigr)\]

となります。
ただし、$θ$は中心からx軸方向へ延ばした半直線を始線とし、始線から反時計回りを正とする一般角です。

なぜこのような座標となるのでしょうか？

原点を中心に回転移動

　回転移動後の座標を求めるには極座標を利用します。
原点を中心に回転移動するとは、原点からの距離を変えずに向き（角度）を変える操作のことです。
そして、極座標は原点からの距離と向き（角度）によって位置を表すものなので、極座標においては回転移動を向き（角度）を置き換える操作として簡単に表すことができます。

関連：極座標とは

点$(a, b)$は直交座標なので、まずこれの極座標を$\mathbf{(r, α)}$とおきます。
すると、この2つの座標表示の間には

\begin{gather}a=r\cos\alpha\\[0.5em]b=r\sin\alpha\end{gather}

という関係が成り立ちます。ここでは使いませんが、$r$は

\[r=\sqrt{a^2+b^2}\]

を満たす実数です。

関連：極座標から直交座標への変換　直交座標から極座標への変換

点$(a, b)$を極座標で表すと、この点を原点を中心に$θ$だけ回転移動した後の極座標は

\[(r, \alpha+\theta)\]

と表せます。

これを直交座標に変換すると

\begin{equation}\bigl(r\cos(\alpha+\theta), r\sin(\alpha+\theta)\bigr)\end{equation}

となります。

ここで、三角関数の加法定理を利用します。

関連：三角関数の加法定理

回転移動後のx座標は

\begin{align*}r\cos(\alpha+\theta)&=r(\cos\alpha\cos\theta-\sin\alpha\sin\theta)\\[0.5em]&=r\cos\alpha\cos\theta-r\sin\alpha\sin\theta\end{align*}

となり、$(1), (2)$より

\begin{equation}r\cos(\alpha+\theta)=a\cos\theta-b\sin\theta\end{equation}

と書けます。

回転移動後のy座標は

\begin{align*}r\sin(\alpha+\theta)&=r(\sin\alpha\cos\theta+\cos\alpha\sin\theta)\\[0.5em]&=r\sin\alpha\cos\theta +r\cos\alpha\sin\theta\end{align*}

となり、$(1), (2)$より

\begin{align*}r\sin(\alpha+\theta)&=b\cos\theta +a\sin\theta\\[0.5em]\therefore r\sin(\alpha+\theta)&=a\sin\theta +b\cos\theta\tag5\end{align*}

と書けます。

$(3)$に$(4), (5)$を代入すると、点$(a, b)$が原点を中心に$θ$だけ回転移動した後の座標は

\[\large (a\cos\theta-b\sin\theta, a\sin\theta +b\cos\theta)\]

と表せることがわかります。

ちなみに$θ=180°$のとき、回転移動した後の座標は

\begin{align*}(a\cos180°-b\sin180°, a\sin180°+b\cos180°)&=\bigl(a\times(-1)-b\times0, a\times0+b\times(-1)\bigr)\\[0.5em]&=(-a, -b)\end{align*}

となります。
これは、原点に関して対称移動した後の座標に一致します。

関連：座標平面上の点の平行移動・対称移動

　直交座標を列ベクトルで表したとき、回転移動後の座標（列ベクトル）への変換を

\[\begin{pmatrix}a\cos\theta-b\sin\theta\\ a\sin\theta +b\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}\]

という行列の掛け算で表すことができます。
このときの$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$のことを回転行列といいます。

点$(p, q)$を中心に回転移動

　点$(p, q)$を中心に回転移動することは、原点を中心に回転移動と平行移動の合成によって考えることができます。
具体的には、

1. 点$(p, q)$と$(a, b)$をx軸方向に$-p$、y軸方向に$-q$だけ平行移動
2. 原点を中心に$(a, b)$の平行移動後の点を$θ$だけ回転移動
3. 回転移動後の点をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動

の3つの移動の合成です。

点$(p, q), (a, b)$を平行移動

　点$(p, q), (a, b)$をx軸方向に$-p$、y軸方向に$-q$だけ平行移動すると、それぞれ原点と$\mathbf{(a-p, b-q)}$に移動します。

原点を中心に回転移動

　点$(a-p, b-q)$を原点を中心に$θ$だけ回転移動すると、$\mathbf{\bigl((a-p)\cos\theta-(b-q)\sin\theta, (a-p)\sin\theta+(b-q)\cos\theta\bigr)}$に移動します。

回転移動後の点を平行移動

　点$\bigl((a-p)\cos\theta-(b-q)\sin\theta, (a-p)\sin\theta+(b-q)\cos\theta\bigr)$をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動すると

\[\bigl((a-p)\cos\theta-(b-q)\sin\theta +p, (a-p)\sin\theta+(b-q)\cos\theta +q\bigr)\]

に移動します。
このとき、原点と点$(a-p, b-q)$も同様に平行移動すると、確かにこれが点$(a, b)$を点$(p, q)$を中心に$θ$だけ回転移動した後の座標であることがわかります。

　以上より、点$(a, b)$を点$(p, q)$を中心に$θ$だけ回転移動した後の座標は

\[\large\bigl((a-p)\cos\theta-(b-q)\sin\theta +p, (a-p)\sin\theta+(b-q)\cos\theta +q\bigr)\]

と表せることがわかります。

　ちなみに$θ=180°$のとき、回転移動した後の座標は

\begin{align*}\bigl((a-p)\cos180°-(b-q)\sin180°+p, (a-p)\sin180°+(b-q)\cos180°+q\bigr)&=\bigl((a-p)\times(-1)-(b-q)\times0+p, (a-p)\times0+(b-q)\times(-1)+q\bigr)\\[0.5em]&=\bigl(-(a-p)+p, -(b-q)+q\bigr)\\[0.5em]&=(2p-a, 2q-b)\end{align*}

となります。
これは、点$(p, q)$に関して対称移動した後の座標に一致します。

(2026/2)内容を変更しました。

関連：関数のグラフの回転移動

関連：極座標とは

関連：座標平面上の点の平行移動・対称移動