リサジュー図形とは？ ~ 数学について考えてみる

2024年12月30日

リサジュー図形とは？

PLUMBAGO

　リサジュー図形とは、各点のx座標とy座標が三角関数の

sin

$\sin$ や

cos

$\cos$ によって決まる図形のことです。

すなわち、例えば

{\begin{matrix} x = A cos (a t + θ) y = B sin (b t + φ) \end{matrix}

$\begin{cases}x=A\cos(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}$

（

A, B, a, b, θ, φ :

$A,B,a,b,θ,φ:$ 定数）という媒介変数表示で表される図形のことをリサジュー図形といいます。

cos θ = sin (\frac{π}{2} - θ)

$\cosθ=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-θ\right)$ であることより、x座標とy座標の両方を

sin

$\sin$ で決めてもリサジュー図形となり、

{\begin{matrix} x = A sin (a t + θ) y = B sin (b t + φ) \end{matrix}

$\begin{cases}x=A\sin(at+\theta)\\[0.5em]y=B\sin(bt+\varphi)\end{cases}$

という媒介変数表示で表すこともできます。

　この媒介変数表示で表される図形には、例えば

線分：x=sin(t), y=sin(t)

2点

(- 1, - 1), (1, 1)

$(-1,-1),(1,1)$ を結ぶ線分

円：x=sin(t), y=sin(t-π/2)

中心が原点、半径

1

$1$ の円
（

sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos t

$\sin\left(θ-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos t$ であることより、
円

x^{2} + y^{2} = 1

$x^2+y^2=1$ の媒介変数表示であることがわかります）

楕円：x=sin(t), y=sin(t+π/4)

楕円

x^{2} - \sqrt{2} x y + y^{2} = \frac{1}{2}

$x^2-\sqrt{2}xy+y^2=\dfrac{1}{2}$

といった簡単な形のものから

リサジュー図形：x=sin(2t), y=sin(3t+π/4)

リサジュー図形：x=sin(5t), y=sin(2t)

リサジュー図形：x=sin(8t), y=sin(9t)

といった複雑な形のもののあります。

　リサジュー図形は振り子運動を利用するハーモノグラフという装置で描くことができます。
また、ハーモノグラフにはリサジュー図形の他に内トロコイド、外トロコイドを描くことができるものもあります。

内トロコイド：x=1/2*{cos(t)+cos(t/2)}, y=1/2*{sin(t)-sin(t/2)}

内トロコイド

外トロコイド：x=1/2*{cos(t)-cos(6t)}, y=1/2*{sin(t)-sin(6t)}

外トロコイド

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