微分係数の定義式を利用して証明する問題

「

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

上記の式は微分係数の定義式である。
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\]

」

\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}&=f'(a)\\[1em]\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}&=f'(a)\end{align}

の2式がそれぞれ成り立つことを証明することができれば、問題の式が成り立つことを証明することができます。

$(1)$

　左辺を$h=-t$とおくと

\[(左辺)=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\frac{f(a)-f(a+t)}{-t}\]

ここで、$h$を限りなく$0$に近づけるとき$t$がどのようになるのかを調べます。
$h=-t$、すなわち$t=-h$より

\begin{align*}\lim_{h\to0}t&=\lim_{h\to0}-h\\[0.5em]&=0\end{align*}

となり、$h\to0$のとき$t\to0$であることがわかります。

このことから

\[(左辺)=\lim_{\textcolor{red}{t\to0}}\frac{f(a)-f(a+t)}{-t}\]

分母と分子に$-1$を掛けて

\[(左辺)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}{t}\]

これは微分係数の定義式そのものなので

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=f'(a)\tag1\]

が成り立つことがわかります。

$(2)$

　$(2)$を証明するために、極限の性質

\begin{align*}\lim_{x\to c}f(x)=\alpha&,\lim_{x\to c}g(x)=\beta\textbf{のとき}\\ \lim_{x\to c}kf(x)&=k\alpha&(k:実数)\\[1em]\lim_{x\to c}\bigl\{f(x)\pm g(x)\bigr\}&=\alpha\pm\beta&(\textbf{複号同順})\end{align*}

に注意して計算する必要があります。

　左辺の分子に$0=f(a)-f(a)$を加えます。

\begin{align*}(左辺)&=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)+f(a)-f(a)}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{\left\{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f(a)\right\}+\left\{f(a)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)\right\}}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f(a)}{h}+\frac{f(a)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}\right\}\end{align*}

$\dfrac{h}{2}=u$とおくと

\begin{align*}(左辺)&=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{2u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{2u}\right\}\\[0.5em]&=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{1}{2}\cdot\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\\[0.5em]&=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\frac{1}{2}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\end{align*}

ここで、$h$を限りなく$0$に近づけるとき$u$がどのようになるのかを調べます。

\begin{align*}\lim_{h\to0}u&=\lim_{h\to0}\frac{h}{2}\\[0.5em]&=\frac{0}{2}\\[0.5em]&=0\end{align*}

となり、$h\to0$のとき$u\to0$であることがわかります。

このことより

\[(左辺)=\lim_{\textcolor{red}{u\to0}}\frac{1}{2}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\]

$\dfrac{f(a+u)-f(a)}{u}+\dfrac{f(a)-f(a-u)}{u}=F(u)$とおいて$\lim_{u\to0}F(u)$について調べると、微分の定義式と$(1)$より

\begin{align*}\lim_{u\to0}F(u)&=\lim_{u\to0}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\\[0.5em]&=f'(a)+f'(a)\\[0.5em]&=2f'(a)\end{align*}

したがって、

\begin{align*}(左辺)&=\lim_{u\to0}\frac{1}{2}F(u)\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot2f'(a)\\[0.5em]&=f'(a)\end{align*}

となるので

\[\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\tag2\]

が成り立つことがわかります。

　$(1),(2)$より

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\]

が成り立つことがわかります。