「
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)
上記の式は微分係数の定義式である。これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)
」
\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}&=f'(a)\\[1em]\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}&=f'(a)\end{align}
の2式がそれぞれ成り立つことを証明することができれば、問題の式が成り立つことを証明することができます。
(1)
左辺をh=-tとおくと
(左辺)=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\frac{f(a)-f(a+t)}{-t}
ここで、hを限りなく0に近づけるときtがどのようになるのかを調べます。
h=-t、すなわちt=-hより
h=-t、すなわちt=-hより
\begin{align*}\lim_{h\to0}t&=\lim_{h\to0}-h\\[0.5em]&=0\end{align*}
となり、h\to0のときt\to0であることがわかります。
このことから
(左辺)=\lim_{\textcolor{red}{t\to0}}\frac{f(a)-f(a+t)}{-t}
分母と分子に-1を掛けて
(左辺)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}{t}
これは微分係数の定義式そのものなので
\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=f'(a)\tag1
が成り立つことがわかります。
(2)
(2)を証明するために、極限の性質
\begin{align*}\lim_{x\to c}f(x)=\alpha&,\lim_{x\to
c}g(x)=\beta\textbf{のとき}\\ \lim_{x\to
c}kf(x)&=k\alpha&(k:実数)\\[1em]\lim_{x\to c}\bigl\{f(x)\pm
g(x)\bigr\}&=\alpha\pm\beta&(\textbf{複号同順})\end{align*}
に注意して計算する必要があります。
左辺の分子に0=f(a)-f(a)を加えます。
\begin{align*}(左辺)&=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)+f(a)-f(a)}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\frac{\left\{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f(a)\right\}+\left\{f(a)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)\right\}}{h}\\[0.5em]&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f(a)}{h}+\frac{f(a)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}\right\}\end{align*}
\dfrac{h}{2}=uとおくと
\begin{align*}(左辺)&=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{2u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{2u}\right\}\\[0.5em]&=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{1}{2}\cdot\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\\[0.5em]&=\lim_{\textcolor{blue}{h\to0}}\frac{1}{2}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\end{align*}
ここで、hを限りなく0に近づけるときuがどのようになるのかを調べます。
\begin{align*}\lim_{h\to0}u&=\lim_{h\to0}\frac{h}{2}\\[0.5em]&=\frac{0}{2}\\[0.5em]&=0\end{align*}
となり、h\to0のときu\to0であることがわかります。
このことより
(左辺)=\lim_{\textcolor{red}{u\to0}}\frac{1}{2}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}
\dfrac{f(a+u)-f(a)}{u}+\dfrac{f(a)-f(a-u)}{u}=F(u)とおいて\lim_{u\to0}F(u)について調べると、微分の定義式と(1)より
\begin{align*}\lim_{u\to0}F(u)&=\lim_{u\to0}\left\{\frac{f(a+u)-f(a)}{u}+\frac{f(a)-f(a-u)}{u}\right\}\\[0.5em]&=f'(a)+f'(a)\\[0.5em]&=2f'(a)\end{align*}
したがって、
\begin{align*}(左辺)&=\lim_{u\to0}\frac{1}{2}F(u)\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot2f'(a)\\[0.5em]&=f'(a)\end{align*}
となるので
\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)\tag2
が成り立つことがわかります。
(1),(2)より
\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+\cfrac{h}{2}\right)-f\left(a-\cfrac{h}{2}\right)}{h}=f'(a)
が成り立つことがわかります。
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