「
これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
limh→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)
上記の式は微分係数の定義式である。これをもちいて以下の式が成り立つことを証明せよ。
limh→0f(a)−f(a−h)h=limh→0f(a+h2)−f(a−h2)h=f′(a)
」
limh→0f(a)−f(a−h)h=f′(a)limh→0f(a+h2)−f(a−h2)h=f′(a)
の2式がそれぞれ成り立つことを証明することができれば、問題の式が成り立つことを証明することができます。
(1)
左辺をh=−tとおくと
(左辺)=limh→0f(a)−f(a+t)−t
ここで、hを限りなく0に近づけるときtがどのようになるのかを調べます。
h=−t、すなわちt=−hより
h=−t、すなわちt=−hより
limh→0t=limh→0−h=0
となり、h→0のときt→0であることがわかります。
このことから
(左辺)=limt→0f(a)−f(a+t)−t
分母と分子に−1を掛けて
(左辺)=limt→0f(a+t)−f(a)t
これは微分係数の定義式そのものなので
limh→0f(a)−f(a−h)h=f′(a)
が成り立つことがわかります。
(2)
(2)を証明するために、極限の性質
limx→cf(x)=α,limx→cg(x)=βのときlimx→ckf(x)=kα(k:実数)limx→c{f(x)±g(x)}=α±β(複号同順)
に注意して計算する必要があります。
左辺の分子に0=f(a)−f(a)を加えます。
(左辺)=limh→0f(a+h2)−f(a−h2)+f(a)−f(a)h=limh→0{f(a+h2)−f(a)}+{f(a)−f(a−h2)}h=limh→0{f(a+h2)−f(a)h+f(a)−f(a−h2)h}
h2=uとおくと
(左辺)=limh→0{f(a+u)−f(a)2u+f(a)−f(a−u)2u}=limh→0{12⋅f(a+u)−f(a)u+12⋅f(a)−f(a−u)u}=limh→012{f(a+u)−f(a)u+f(a)−f(a−u)u}
ここで、hを限りなく0に近づけるときuがどのようになるのかを調べます。
limh→0u=limh→0h2=02=0
となり、h→0のときu→0であることがわかります。
このことより
(左辺)=limu→012{f(a+u)−f(a)u+f(a)−f(a−u)u}
f(a+u)−f(a)u+f(a)−f(a−u)u=F(u)とおいてlimu→0F(u)について調べると、微分の定義式と(1)より
limu→0F(u)=limu→0{f(a+u)−f(a)u+f(a)−f(a−u)u}=f′(a)+f′(a)=2f′(a)
したがって、
(左辺)=limu→012F(u)=12⋅2f′(a)=f′(a)
となるので
limh→0f(a+h2)−f(a−h2)h=f′(a)
が成り立つことがわかります。
(1),(2)より
limh→0f(a)−f(a−h)h=limh→0f(a+h2)−f(a−h2)h=f′(a)
が成り立つことがわかります。
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