最大値・最小値が「ない」ときとは？

　最大値や最小値が「ない」ときとはどのようなときなのでしょうか？

以下の例題から考えてみます。

\[y=-2x+5\quad(x<2)\]
「上の関数の最大値と最小値を求めよ。」

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分数式を整数値にできる自然数は何個？

 \[\Large \frac{616}{a}\]
「上の分数が整数となるような自然数$a$は何個あるか？」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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合成関数の最大値・最小値を求める

「次の関数の[ ]内の定義域における最大値と最小値を求めよ。

(1)

$y=(x^2-2x-3)^2+3(x^2-2x-3)+3$

$[1\leqq x\leqq3]$

(2)

$y=(x^2+4x-3)^3-(x^2+4x-3)^2-(x^2+4x-3)+2$

$[0\leqq x\leqq1]$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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2次関数のグラフの平行移動

　2次関数

\[\large y=(x-p)^2+q\]

のグラフは$y=x^2$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$移動させたものとなぜ判断できるのでしょうか？

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2直線の交点と他の一点を通る直線の方程式を求める

「直線$l:2x-3y+6=0,m:2x+y-2=0$の交点と点$(3,7)$を通る直線の方程式を求めよ。」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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「pならばq」を否定すると？

　「$p$ならば$q$」という命題を否定すると何になるのでしょうか？

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三角関数の合成 sinやcosの係数をどうするか？

　三角関数の合成とは同じ角度が入っている三角関数の和や差、すなわち$a\sinθ+b\cosθ$や$a\sinθ-b\cosθ$を1つの三角関数で表す方法のことです。

　三角関数の合成の公式は以下のようになります。

公式1

\[\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=r\sin(\theta\pm\alpha)\tag{複号同順}\]

このとき、$r,θ$はそれぞれ

\begin{align*}\large r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{b}{r}\end{cases}\end{align*}

を満たす。

公式2

\[\large a\sin\theta\pm b\cos\theta=\pm r\cos(\theta\mp\alpha)\tag{複号同順}\]

このとき、$r,θ$はそれぞれ

\begin{align*}\large r=\sqrt{a^2+b^2}\\[0.5em]\large\begin{cases}\cos\alpha=\dfrac{b}{r}\\[0.5em]\sin\alpha=\dfrac{a}{r}\end{cases}\end{align*}

を満たす。

これらは加法定理を利用して導くことができます。

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円周角の定理 なぜ成り立つのか？

　円周角の定理はなぜ成り立つのでしょうか？

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2次方程式の両辺をxで割って解いてはいけないのはナゼ？

\[\Large x^2-6x=0\]

という2次方程式を解くとき、両辺を$x$で割って

\begin{align*}x-6&=0\\[0.5em] x&=6\end{align*}

としてはならないのはなぜでしょうか？

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極限の不定形（∞-∞、0×∞）はなぜ極限値を出すことができないのか？

\[\Large\lim_{x\to\infty}(x-x^2)\]
　この極限はどうなるでしょうか？
このまま極限を計算しようとすると$x\to\infty$のとき$x^2\to\infty$なので、
\[\lim_{x\to\infty}(x-x^2)=\infty-\infty\]
となります。これは一例ですが$\infty-\infty$は不定形と呼ばれるもので、この状態では極限値を求めることはできません。

なぜ$\infty-\infty=0$としてはいけないのでしょうか？

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連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数なのか？

　連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数になるのでしょうか？

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割合と百分率の違いは？

　割合と百分率にはどんな違いがあるのでしょうか？

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ヴィヴィアーニの定理の拡張についての考察

　Wikipediaのヴィヴィアーニの定理のページにて正多角形と等角多角形、凸な等辺多角形においても成り立つとの記述があったので、このヴィヴィアーニの定理の拡張を自分なりに考察してみました。

四角形については以前の記事で言及しているので五角形をもちいます。

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積の微分・商の微分

　2つの関数$f(x),g(x)$同士を掛けたり割ったりしたものの微分、積の微分・商の微分は以下のようになります。

\begin{align*}\{f(x)g(x)\}'&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\[1.5em]\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[1.5em]\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'&=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{align*}

なぜこのようになるのでしょうか？

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対数関数を指数に持つ指数関数の微分

「次の関数を微分せよ。

(1)$\large e^{\log_e{x}}$ $\large(x>0)$

(2)$\large e^{x\log_e{2}}$

(3)$\large e^{\log_3{x}}$ $\large(x>0)$」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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指数関数の微分いろいろ

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小数と分数を含む1次方程式を解く

\[\Large -0.8x+1=\frac{1}{6}x-1.5\]
「上の方程式を解け。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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底の異なる指数のついた数同士の積と商

 　底の異なる指数のついた数同士の積と商はどのような変形ができるでしょうか？

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