「あるホテルでは客室番号に”$4$”、”$6$”、”$9$”を使用しない。このとき次の問いに答えよ。
(1)小さい順で45番目の客室番号は何番か？
(2)小さい順で300番目の客室番号は何番か？
(3)”$258$”号室の客室は小さい順で何番目か？」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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2022年9月28日
2022年5月5日
2021年9月26日
2021年9月22日
2021年9月20日
10進数の小数を2進数の小数に変換するには
10進数の数を位ごとに分解すると、
\[1234=1× 10^3+2× 10^2+3× 10^1+4× 10^0\]
のように$10$の累乗の和で表すことができます。これは2進数においても同じです。
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2021年9月15日
10進数を2進数に変換する
10進数
10進数の数として例えば$(1234)_{10}$について考えてみます。
これをを繰り返し10で割ってみます。
10で割ったあと余りを出し、商をさらに10で割ります。この計算をしやすいように割り算の筆算を逆さまにしたような書き方で行います。
商が0になるまで割り続け、余りの数を下から並べ直すと元の$1234$という数が出てきます。
10で1回割ると10より小さい$4$が余りとして出てきます。
\[1234=10× 123+4\]
これを式で表すと上のようになります。10に掛けている数が商となります。
商の$123$を10で割ると次は余りとして$3$が出てきます。
\begin{align*}1234&=10(10× 12+3)+4\\ &=100× 12+10× 3+4\end{align*}
$123$を$10× 12+3$とすることで商の$12$と余りの$3$に分解しています。
これを繰り返していきます。
\begin{align*}1234&=100(10× 1+2)+10× 3+4\\ &=1000× 1+100× 2+10× 3+4\end{align*}
これで、$(1234)_{10}$を位ごとに分解することができました。これが筆算で行っていることです。
位を10で表すと10の累乗となり、
\[1234=10^3× 1+10^2× 2+10^1× 3+10^0× 4\]
と書けます。このことからも10で繰り返し割ることで位の数ごとに分解することができることがわかると思います。
2進数
上で行う筆算を2進数でもやってみます。割る数は2進数なので$2$です。
余りを下から並べると$(10011010010)_2$となり、これが$(1234)_{10}$を2進数変換した数となります。
10進数のときのように2の累乗を使った式をつくると、
\begin{align*}1234&=2^{10}× 1+2^9× 0+2^8× 1+2^7× 1\\ &\quad+2^6× 1+2^5× 0+2^4× 1+2^3× 0\\ &\qquad+2^2× 0+2^1× 1+2^0× 0\\ &=2^{10}× 1+2^7× 1+2^6× 1+2^4× 1+2^1× 1\end{align*}
となるため2進数の数の一番下の桁から一の位、二($2^1$)の位、四($2^2$)の位、八($2^3$)の位……となっていることがわかります。
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