三角形の五心 ②三角形の外心とは？

　三角形の外心とは、三角形の3つの辺の垂直二等分線が交わる点のことです。

どの三角形においても、3つの辺の垂直二等分線がただ1点で交わり、必ず外心が存在することを確かめてみます。

　任意の三角形$△\text{ABC}$を考え、辺$\text{AB}, \text{BC}$それぞれの垂直二等分線を引き、交点を$\text{O}$とします。
辺$\text{CA}$の垂直二等分線が点$\text{O}$を通ることが示せれば、どの三角形にも外心が存在することがわかります。

関連：垂直二等分線の作図

　まず、辺$\text{AB}, \text{BC}, \text{CA}$の中点をそれぞれ$\text{D}, \text{E}, \text{F}$とすると、辺$\text{AB}$の垂直二等分線は直線$\text{DO}$、辺$\text{BC}$の垂直二等分線は直線$\text{EO}$となります。

線分$\text{AO}, \text{BO}$を引き、$△\text{ADO}$と$△\text{BDO}$に着目すると

• 共通する辺より$\text{DO}=\text{DO}$
• 線分$\text{AB}$の中点が$\text{D}$なので$\text{AD}=\text{BD}$
• 線分$\text{AB}$の垂直二等分線$\text{DO}$より$∠\text{ADO}=∠\text{BDO}=90°$

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同であることがわかります。
このことから、

\begin{equation}\text{AO}=\text{BO}\end{equation}

です。

関連：三角形の合同・合同条件

次に、線分$\text{CO}$を引き、$△\text{BEO}$と$△\text{CEO}$に着目すると

• 共通する辺より$\text{EO}=\text{EO}$
• 線分$\text{BC}$の中点が$\text{E}$なので$\text{BE}=\text{CE}$
• 線分$\text{BC}$の垂直二等分線$\text{EO}$より$∠\text{BEO}=∠\text{CEO}=90°$

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同であることがわかります。
このことから、

\begin{equation}\text{BO}=\text{CO}\end{equation}

です。

$(1), (2)$より

\begin{equation}\text{AO}=\text{CO}\end{equation}

であることがわかります。

　今度は、線分$\text{FO}$を引き、$△\text{AFO}$と$△\text{CFO}$に着目すると

• 共通する辺より$\text{FO}=\text{FO}$
• 線分$\text{CA}$の中点が$\text{F}$なので$\text{AF}=\text{CF}$
• $(3)$より$\text{AO}=\text{CO}$

3組の辺がそれぞれ等しいので、合同であることがわかります。
このことから、

\begin{equation}\angle \text{AFO}=\angle \text{CFO}\end{equation}

です。

$∠\text{AFO}, ∠\text{CFO}$は辺$\text{CA}$と直線$\text{FO}$が交わってできた角なので、

\[\angle \text{AFO}+\angle \text{CFO}=180°\]

であり、$(4)$より

\begin{align*}\angle \text{AFO}+\angle \text{AFO}&=180°\\[0.5em]2\angle \text{AFO}&=180°\\[0.5em]\angle \text{AFO}&=90°\\[0.5em]\therefore \angle \text{AFO}=\angle \text{CFO}&=90°\end{align*}

となり、直線$\text{FO}$は辺$\text{CA}$と直角に交わり、かつ辺$\text{CA}$の中点$\text{F}$を通るので、辺$\text{CA}$の垂直二等分線であることがわかります。

したがって、辺$\text{CA}$の垂直二等分線は、辺$\text{AB}, \text{BC}$の垂直二等分線の交点$\text{O}$を通るため、どの三角形にも外心が存在することがわかります。

外心の性質

　$(1), (2)$より、$\text{AO}=\text{BO}=\text{CO}$なので、外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点であるといえます。

　また、$\text{AO}=\text{BO}=\text{CO}$であることより、3点$\text{A}, \text{B}, \text{C}$は点$\text{O}$を中心とし、半径$\text{AO}$の円周上にあることがわかります。（以降、この円を円$\text{O}$と呼ぶことにします。）

したがって、円$\text{O}$は$△\text{ABC}$の外接円である、すなわち外心は三角形の外接円の中心となります。

　三角形の外心は、鋭角三角形の場合は三角形の内部、鈍角三角形は三角形の外部にあり、直角三角形の場合は斜辺の中点と一致します。

この三角形の種類と外心の位置を考えるために、まずは三角形の内部の点、外部の点について考えます。

$△\text{ABC}$の内部に点$\text{X}$があるとは、

点$\text{X}$が直線$\text{BC}$に関して点$\text{A}$と同じ側にある、
かつ直線$\text{CA}$に関して点$\text{B}$と同じ側にある、
かつ直線$\text{AB}$に関して点$\text{C}$と同じ側にあること。

といえます。

対して、$△\text{ABC}$の外部に点$\text{Y}$があるとは、

点$\text{Y}$が直線$\text{BC}$に関して点$\text{A}$と反対側にある、
または直線$\text{CA}$に関して点$\text{B}$と反対側にある、
または直線$\text{AB}$に関して点$\text{C}$と反対側にあること。

といえます。

ところで、円$\text{O}$に3点$\text{P}, \text{Q}, \text{R}$をとると、円周角$∠\text{PQR}$と円の中心$\text{O}$の位置関係について以下のことがいえます。

• 円周角$∠\text{PQR}$が鋭角のとき、円の中心$\text{O}$は直線$\text{PR}$に関して円周角の頂点$\text{Q}$と同じ側にあります。
• 円周角$∠\text{PQR}$が鈍角のとき、円の中心$\text{O}$は直線$\text{PR}$に関して円周角の頂点$\text{Q}$と反対側にあります。

すると、$△\text{ABC}$が鋭角三角形のとき、すべての内角が鋭角なので、円$\text{O}$において、

点$\text{O}$が直線$\text{BC}$に関して点$\text{A}$と同じ側にあり、
かつ直線$\text{CA}$に関して点$\text{B}$と同じ側にあり、
かつ直線$\text{AB}$に関して点$\text{C}$と同じ側にある。

を満たし、鋭角三角形の外心は三角形の内部にあることがわかります。

対して、$△\text{ABC}$が鈍角三角形のとき、内角の1つが鈍角なので、円$\text{O}$において、

点$\text{O}$が直線$\text{BC}$に関して点$\text{A}$と反対側にある、
または直線$\text{CA}$に関して点$\text{B}$と反対側にある、
または直線$\text{AB}$に関して点$\text{C}$と反対側にある。

を満たし、鈍角三角形の外心は三角形の外部にあることがわかります。

$△\text{ABC}$が直角三角形のときは、タレスの定理の逆をもちいます。

タレスの定理の逆とは、

直角三角形の斜辺は外接円の直径である。

というものです。
このことから、直角三角形の外心は斜辺の中点に一致することがわかります。

関連：タレスの定理とその逆

関連：三角形の五心　①三角形の内心とは？

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