タレスの定理とその逆

タレスの定理とは

円周上に円の直径の端点$\text{A, B}$とそれ以外の任意の点$\text{P}$をおくと、$∠\text{APB}=90°$（直角）となる。

という定理です。

これはなぜ成り立つのでしょうか？また、タレスの定理の逆についても考えます。

タレスの定理

　まずはタレスの定理が成り立つことを確かめます。

　上図のように円$\text{O}$の周上に直径の端点$\text{A, B}$と$\text{A, B}$とは異なる点$\text{P}$をおきます。

$\text{OA, OB, OP}$はそれぞれ円$\text{O}$の半径なので$△\text{OAP},△\text{OBP}$は二等辺三角形です。
$△\text{OAP},△\text{OBP}$の底角をそれぞれ$α,β$とすると$△\text{ABP}$の内角は

$$2\alpha+2\beta=180°$$

となります。

これの両辺を$2$で割れば

$$\alpha+\beta=90°$$

$α+β$は$∠\text{APB}$の大きさでもあるので、直径$\text{AB}$に対する円周角$∠\text{APB}$は常に直角であることがわかります。

タレスの定理の逆

　タレスの定理はその逆も成り立ちます。
タレスの定理の逆は、

3点$\text{A, B, C}$が$∠\text{ABC}=90°$となる角をつくるとき、これら3点は$\text{A, C}$を直径とする円の円周上に存在する

あるいは

$∠\text{ABC}=90°$である直角三角形$\text{ABC}$の外接円を描くと斜辺$\text{AC}$は直径になる

と説明されます。
ここではタレスの定理の逆は後者のこととして、これが成り立つことを確かめます。

　直角三角形$\text{ABC}$の斜辺$\text{AC}$が外接円の直径となるならば$\text{AC}$の中点$\text{M}$が外接円の中心になります。すると、$\text{AM, BM, CM}$は外接円の半径となるので$\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}$が成り立つはずです。

したがって、これを示すことができればタレスの定理の逆が成り立つということになります。

　$\text{BM}$の$\text{M}$の側を延長し、$\text{BM}=\text{DM}$となるように点$\text{D}$をとります。
すると$\text{AM}＝\text{CM}$かつ$\text{BM}=\text{DM}$が成り立つので、四角形$\text{ABCD}$は2本の対角線がそれぞれの中点$\text{M}$で交わることから平行四辺形であることがわかります。

また、平行四辺形の対角の大きさは等しいので$∠\text{ABC}=∠\text{ADC}=90°$です。
残るもう1組の対角の和が$180°$かつこちらの対角の大きさも等しいので$∠\text{BAD}=∠\text{BCD}=90°$です。
4つの内角がすべて$90°$なので、平行四辺形$\text{ABCD}$は長方形であることがわかります。
長方形の対角線は長さが等しいので、$\text{AC}=\text{BD}$です。

よって、$\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}$が成り立つのでタレスの定理の逆も成り立つことがわかります。

関連：円周角の定理　なぜ成り立つのか？