底面積と表面積から円錐の高さを求める

「底面の半径が$3$cmである円錐の表面積が底面積の6倍であるとき、この円錐の高さを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　この円錐の底面積は

$$3^2\pi=9\pi[\text{cm}^2]$$

であるから、円錐の表面積は6倍の$54\pi$cm²となります。
このことから、側面積は

$$54\pi-9\pi=45\pi[\text{cm}^2]$$

であることがわかります。

円錐の底面積と側面積の比は底面の半径と母線の比と等しいので、母線の長さ$a$は

$$\begin{align*}9\pi:45\pi&=3:a\\[0.5em]1:5&=3:a\\[0.5em]a&=15[cm]\end{align*}$$

となります。

関連：円錐の底面の半径と母線の長さの比

円錐の高さと母線、底面の半径で直角三角形ができるので、三平方の定理より円錐の高さ$h$は

$$\begin{align*}h^2+3^2&=15^2\\[0.5em]h^2+9&=225\\[0.5em]h^2&=216\\[0.5em]h&=\sqrt{216}&(\because h>0)\\[0.5em]&=\sqrt{6^3}\\[0.5em]&=6\sqrt{6}[\mathrm{cm}]\end{align*}$$

と求められます。

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

関連：平方根とは？　平方根の計算法則