「底面の半径が$3$cmである円錐の表面積が底面積の6倍であるとき、この円錐の高さを求めよ。」
この円錐の底面積は
\[3^2\pi=9\pi[\mathrm{cm^2}]\]
であるから、円錐の表面積は6倍の$54\pi$cm²となります。
このことから、側面積は
\[54\pi-9\pi=45\pi[\mathrm{cm^2}]\]
であることがわかります。
円錐の底面積と側面積の比は底面の半径と母線の比と等しいので、母線の長さ$a$は
\begin{align*}9\pi:45\pi&=3:a\\[0.5em]1:5&=3:a\\[0.5em]a&=15[cm]\end{align*}
となります。
円錐の高さと母線、底面の半径で直角三角形ができるので、三平方の定理より円錐の高さ$h$は
\begin{align*}h^2+3^2&=15^2\\[0.5em]h^2+9&=225\\[0.5em]h^2&=216\\[0.5em]h&=\sqrt{216}&(\because
h>0)\\[0.5em]&=\sqrt{6^3}\\[0.5em]&=6\sqrt{6}[\mathrm{cm}]\end{align*}
と求められます。
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