10年間複利で1000万円達成するのに最低限必要な元金は？ ~ 数学について考えてみる

2023年1月25日

10年間複利で1000万円達成するのに最低限必要な元金は？

PLUMBAGO

「年率 $3.7$ %、10年間複利で1000万円にするためには初めに最低何円預ける必要があるか？千の位まで答えよ。ただし、年率は一定で、税金、費用等はかからないものとする。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　年率（年利）とは、1年前の元金を基準としてどれくらい増加したかを表す割合のことで、

(元 金) \times (年 率)

$(元金)×(年率)$ で1年前の元金からの増加額、すなわち利息を求めることができます。
1年目の元利は

(元 金) + (1 年 目 の 利 息)

$(元金)+(1年目の利息)$ であるから、年率で求めるには

\begin{aligned} (元 金) + (1 年 目 の 利 息) & = (元 金) + (元 金) \times (年 率) \\ = (元 金) \times {1 + (年 率)} \end{aligned}

$\begin{align*}(元金)+(1年目の利息)&=(元金)+(元金)×(年率)\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}\end{align*}$

となります。

複利なので2年目以降は

(本 年 の 元 利) = (前 年 の 元 利) \times {1 + (年 率)}

$(本年の元利)=(前年の元利)×\{1+(年率)\}$ で求められます。
元金と年率で

n

$n$ 年目の元利を表すと

\begin{aligned} (1 年 目 の 元 利) & = (元 金) \times {1 + (年 率)} \\ (2 年 目 の 元 利) & = (1 年 目 の 元 利) \times {1 + (年 率)} \\ = (元 金) \times {1 + (年 率)} \times {1 + (年 率)} \\ = (元 金) \times {1 + (年 率)}^{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ (n 年 目 の 元 利) & = (元 金) \times {1 + (年 率)} \times {1 + (年 率)} \times \dots \times {1 + (年 率)} \\ = (元 金) \times {1 + (年 率)}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*}(1年目の元利)&=(元金)×\{1+(年率)\}\\ \\ (2年目の元利)&=(1年目の元利)×\{1+(年率)\}\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}×\{1+(年率)\}\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}^2\\ \\ \vdots\qquad&\qquad\qquad\vdots\\ \\ (n年目の元利)&=(元金)×\{1+(年率)\}×\{1+(年率)\}×\cdots×\{1+(年率)\}\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}^n\end{align*}$

となります。

このことから、10年目の元利は