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2023年1月25日

10年間複利で1000万円達成するのに最低限必要な元金は?

「年率3.73.7%、10年間複利で1000万円にするためには初めに最低何円預ける必要があるか?千の位まで答えよ。ただし、年率は一定で、税金、費用等はかからないものとする。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?

 年率(年利)とは、1年前の元金を基準としてどれくらい増加したかを表す割合のことで、
()×()()×()で1年前の元金からの増加額、すなわち利息を求めることができます。
1年目の元利は()+(1)()+(1)であるから、年率で求めるには
()+(1)=()+()×()=()×{1+()}()+(1)=()+()×()=()×{1+()}
となります。
複利なので2年目以降は()=()×{1+()}()=()×{1+()}で求められます。
元金と年率でnn年目の元利を表すと
(1)=()×{1+()}(2)=(1)×{1+()}=()×{1+()}×{1+()}=()×{1+()}2(n)=()×{1+()}×{1+()}××{1+()}=()×{1+()}n(1)=()×{1+()}(2)=(1)×{1+()}=()×{1+()}×{1+()}=()×{1+()}2(n)=()×{1+()}×{1+()}××{1+()}=()×{1+()}n
となります。
このことから、10年目の元利は
10000000=()×(1+0.037)10=()×1.0371010000000=()×(1+0.037)10=()×1.03710
で求められるから、元金について解くと
()=100000001.03710(=10000000×1.03710)=6953643.734()=100000001.03710(=10000000×1.03710)=6953643.734

10年間で1000万円を達成するために必要な元金は6953643.7346953643.734以上の数である必要があります。
したがって、千の位までを答えるので百の位を切り上げて、必要な元金は69540006954000円であるとわかります。

 各年の元利・利息を計算すると以下の表のようになります。(クリックで拡大できます。)
1000万円までの元利計算
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