10年間複利で1000万円達成するのに最低限必要な元金は？

「年率$3.7$%、10年間複利で1000万円にするためには初めに最低何円預ける必要があるか？千の位まで答えよ。ただし、年率は一定で、税金、費用等はかからないものとする。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　年率（年利）とは、1年前の元金を基準としてどれくらい増加したかを表す割合のことで、
$(元金)×(年率)$で1年前の元金からの増加額、すなわち利息を求めることができます。
1年目の元利は$(元金)+(1年目の利息)$であるから、年率で求めるには

\begin{align*}(元金)+(1年目の利息)&=(元金)+(元金)×(年率)\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}\end{align*}

となります。

複利なので2年目以降は$(本年の元利)=(前年の元利)×\{1+(年率)\}$で求められます。
元金と年率で$n$年目の元利を表すと

\begin{align*}(1年目の元利)&=(元金)×\{1+(年率)\}\\ \\ (2年目の元利)&=(1年目の元利)×\{1+(年率)\}\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}×\{1+(年率)\}\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}^2\\ \\ \vdots\qquad&\qquad\qquad\vdots\\ \\ (n年目の元利)&=(元金)×\{1+(年率)\}×\{1+(年率)\}×\cdots×\{1+(年率)\}\\ \\ &=(元金)×\{1+(年率)\}^n\end{align*}

となります。

このことから、10年目の元利は

\begin{align*}10000000&=(元金)×(1+0.037)^{10}\\ \\ &=(元金)×1.037^{10}\end{align*}

で求められるから、元金について解くと

\begin{align*}(元金)&=\frac{10000000}{1.037^{10}}\\ \\ &\left(=10000000×1.037^{-10}\right)\\ \\ &=6953643.734\end{align*}

10年間で1000万円を達成するために必要な元金は$6953643.734$以上の数である必要があります。
したがって、千の位までを答えるので百の位を切り上げて、必要な元金は$\mathbf{6954000}$円であるとわかります。

　各年の元利・利息を計算すると以下の表のようになります。(クリックで拡大できます。)