「$a,n$を正の整数とする。$1$から$a^n$までの整数の中に$a$の倍数はいくつあるか？$a,n$をもちいて表わせ。」
$a$の倍数とは$a$と整数の積のことです。なので、$a$の倍数は
\begin{align*}a,2a,\cdots,ka,&\cdots\\ &(k:任意の整数)\end{align*}
のように表されます。$a$から数えて何番目の倍数であるのかは$a$の係数から知ることができ、$k$番目の$a$の倍数は$ka$となります。
指数の計算法則を利用すると$a^n$は
\[a^n=a^{n-1}\cdot a\]
のように因数分解することができます。
整数$a$の累乗$a^{n-1}$も整数なので、これに$a$が掛けられている$a^{n-1}\cdot a$は$a$の倍数であることがわかります。
したがって、$a^{n-1}$を$a$の倍数の係数部分とすると$a^{n-1}\cdot
a$は$a$から数えて$a^{n-1}$番目の$a$の倍数であることがわかるので、この問題の答えは$a^{n-1}$個となります。
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