1からa^nまでに含まれるaの倍数は何個？

「$a,n$を正の整数とする。$1$から$a^n$までの整数の中に$a$の倍数はいくつあるか？$a,n$をもちいて表わせ。」

　$a$の倍数とは$a$と整数の積のことです。なので、$a$の倍数は

$$\begin{align*}a,2a,\cdots,ka,&\cdots\\ &(k:任意の整数)\end{align*}$$

のように表されます。$a$から数えて何番目の倍数であるのかは$a$の係数から知ることができ、$k$番目の$a$の倍数は$ka$となります。

　指数の計算法則を利用すると$a^n$は

$$a^n=a^{n-1}\cdot a$$

のように因数分解することができます。

関連：指数の計算法則

整数$a$の累乗$a^{n-1}$も整数なので、これに$a$が掛けられている$a^{n-1}\cdot a$は$a$の倍数であることがわかります。

したがって、$a^{n-1}$を$a$の倍数の係数部分とすると$a^{n-1}\cdot a$は$a$から数えて$a^{n-1}$番目の$a$の倍数であることがわかるので、この問題の答えは$a^{n-1}$個となります。