「$12^5$の上2桁を答えよ。
ただし、$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$であることをもちいてよい。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
この問題を解く方法には、$10$のべき乗をそのまま利用する方法と、対数をとって解く方法の2通りがあります。
1. $10$のべき乗をそのまま利用
$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$を利用して、$12$を$10$のべき乗で表します。
\begin{align*}12&=2^2\times3\\[0.5em]&=\left(10^{0.3010}\right)^2\times10^{0.4771}\end{align*}
指数の計算法則$(a^m)^n=a^mn,a^m\times a^n=a^{m+n}$を利用して
\begin{align*}12&=10^{0.6020}\times10^{0.4771}\\[0.5em]&=10^{0.6020+0.4771}\\[0.5em]&=10^{1.0791}\end{align*}
求めたいのは$12^5$の上2桁なので、両辺を5乗して
\begin{align*}12^5&=\left(10^{1.0791}\right)^5\\[0.5em]&=10^{1.0791\times5}\\[0.5em]&=10^{5.3955}\\[0.5em]&=10^{1.3955}\times10^4\end{align*}
となります。
ここで、$10^{1.3955}$は
\[10=10^1<10^{1.3955}<10^2=100\]
となるから、整数部は$10$より大きく$100$未満の2桁の整数となります。すると、これが求めたい$12^5$の上2桁にあたります。
さらに、
\begin{align*}24&=2\times12\\[0.5em]&=10^{0.3010}\times10^{1.0791}\\[0.5em]&=10^{1.3801}\\[1em]25&=\frac{100}{4}\\[0.5em]&=\frac{10^2}{2^2}\\[0.5em]&=\frac{10^2}{\left(10^{0.3010}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{10^2}{10^{0.6020}}\\[0.5em]&=10^{1.3980}&(\because\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c})\end{align*}
であることを考えると、
\[24=10^{1.3801}<10^{1.3955}<10^{1.3980}=25\]
となるから、$10^{1.3955}$の整数部は$24$であることがわかります。
したがって、$12^5$の上2桁は$24$であると求めることができました。
2. 対数をとって解く
対数を利用する方法は$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$それぞれの両辺の対数をとった$\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771$を利用するもので、大まかな流れは1.と同じようになります。（以下、対数の底はすべて$10$なので省略）
対数の計算法則$\log{A}+\log{B}=\log{AB},\log{A^n}=n\log{A}$を利用して$12^5$の対数をとると
$12^5$を整数部が2桁である数にするには$10^4$で割ります。この数の対数は対数の計算法則$\log A-\log B=\log\dfrac{A}{B}$より
\begin{align*}\log{12^5}&=5\log{12}\\[0.5em]&=5\log(2^2\times3)\\[0.5em]&=5\{\log2^2+\log3\}\\[0.5em]&=5(2\log2+\log3)\\[0.5em]&=5(2\times0.3010+0.4771)\\[0.5em]&=5.3955\end{align*}
ここで、
\[\log10^5=5<5.3955<6=\log10^6\]
なので、$12^5$は6桁の整数であることがわかります。$12^5$を整数部が2桁である数にするには$10^4$で割ります。この数の対数は対数の計算法則$\log A-\log B=\log\dfrac{A}{B}$より
\begin{align*}\log\frac{12^5}{10^4}&=\log12^5-\log10^4\\[0.5em]&=5.3955-4\\[0.5em]&=1.3955\end{align*}
となります。
ここで、
\begin{align*}\log24&=\log(2^3\times3)\\[0.5em]&=\log2^3+\log3\\[0.5em]&=3\log2+\log3\\[0.5em]&=3\times0.3010+0.4771\\[0.5em]&=1.3801\\[1.5em]\log25&=\log\frac{10^2}{2^2}\\[0.5em]&=\log10^2-\log2^2\\[0.5em]&=2-2\log2\\[0.5em]&=2-0.6020\\[0.5em]&=1.3980\end{align*}
より
\[\log24=1.3801<\log\frac{12^5}{10^4}<1.3980=\log25\]
となるから、$\dfrac{12^5}{10^4}$の整数部は$24$、すなわち$12^5$の上2桁は$24$であることがわかります。
$5.3955$を整数部分と小数部分に分解して、$10^{0.3955}$または$\log\dfrac{12^5}{10^5}=0.3955$から上2桁を求める方法もあります。
この場合、上2桁を求めるための比較対象はそれぞれ
\begin{align*}10^{0.3955}の場合\\
2.4&=\frac{24}{10}\\[0.5em]&=\frac{10^{1.3801}}{10}\\[0.5em]&=10^{0.3801}\\[1em]2.5&=\frac{10}{2^2}\\[0.5em]&=\frac{10^1}{10^{0.6020}}\\[0.5em]&=10^{0.3980}\\[1em]\log\frac{12^5}{10^5}=0.3955の場合\\
\log2.4&=0.3801\\[0.5em]\log2.5&=0.3980\end{align*}
となります。比較対象を見つけやすいほうで求めます。
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