「$12^5$の上2桁を答えよ。
ただし、$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$であることをもちいてよい。」
1. $10$のべき乗をそのまま利用
\begin{align*}12&=2^2\times3\\[0.5em]&=\left(10^{0.3010}\right)^2\times10^{0.4771}\end{align*}
指数の計算法則$(a^m)^n=a^mn,a^m\times a^n=a^{m+n}$を利用して
\begin{align*}12&=10^{0.6020}\times10^{0.4771}\\[0.5em]&=10^{0.6020+0.4771}\\[0.5em]&=10^{1.0791}\end{align*}
求めたいのは$12^5$の上2桁なので、両辺を5乗して
\begin{align*}12^5&=\left(10^{1.0791}\right)^5\\[0.5em]&=10^{1.0791\times5}\\[0.5em]&=10^{5.3955}\\[0.5em]&=10^{1.3955}\times10^4\end{align*}
となります。
ここで、$10^{1.3955}$は
\[10=10^1<10^{1.3955}<10^2=100\]
となるから、整数部は$10$より大きく$100$未満の2桁の整数となります。すると、これが求めたい$12^5$の上2桁にあたります。
さらに、
\begin{align*}24&=2\times12\\[0.5em]&=10^{0.3010}\times10^{1.0791}\\[0.5em]&=10^{1.3801}\\[1.5em]25&=\frac{100}{4}\\[0.5em]&=\frac{10^2}{2^2}\\[0.5em]&=\frac{10^2}{\left(10^{0.3010}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{10^2}{10^{0.6020}}\\[0.5em]&=10^{1.3980}&(\because\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c})\end{align*}
であることを考えると、
\[24=10^{1.3801}<10^{1.3955}<10^{1.3980}=25\]
となるから、$10^{1.3955}$の整数部は$24$であることがわかります。
関連:指数の計算法則
2. 対数をとって解く
対数を利用する方法は$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$それぞれの両辺の対数をとった$\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771$を利用するもので、大まかな流れは1.と同じようになります。(以下、対数の底はすべて$10$なので省略)
ここで、
\[\log10^5=5<5.3955<6=\log10^6\]
なので、$12^5$は6桁の整数であることがわかります。
$12^5$を整数部が2桁である数にするには$10^4$で割ります。この数の対数は対数の計算法則$\log A-\log B=\log\dfrac{A}{B}$より
\begin{align*}\log\frac{12^5}{10^4}&=\log12^5-\log10^4\\[0.5em]&=5.3955-4\\[0.5em]&=1.3955\end{align*}
となります。
関連:対数の計算法則