「$2023^{2023}$の下1桁を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
累乗は同じ数を指数と同じ個数だけ掛け合わせる計算なので、掛け算において積の下1桁が何によって決まるのかを考えます。
積の下1桁は掛けられる数と掛ける数の下1桁同士の積の下1桁と等しくなります。
したがって、$2023^{2023}$の下1桁は$3^{2023}$の下1桁に等しいことがわかります。
したがって、$2023^{2023}$の下1桁は$3^{2023}$の下1桁に等しいことがわかります。
そこで、$3$を掛け続けていくと下1桁がどのように変わっていくかを調べてみます。
このことから、指数を$4$で割り、その余りから下1桁が何になるのかを調べることができます。
\begin{align*}3^1&=\textcolor{red}{3}\\[0.5em]3^2&=3\times3=\textcolor{red}{9}\\[0.5em]3^3&=9\times3=2\textcolor{red}{7}\\[0.5em]3^4&=27\times3=8\textcolor{red}{1}\\[0.5em]3^5&=81\times3=24\textcolor{red}{3}\\[0.5em]3^6&=243\times3=72\textcolor{red}{9}\\ &\vdots\end{align*}
下1桁が$3\to9\to7\to1\to3\to\cdots$というように4つの数字が順番に繰り返し現れ、$3^1$の$3$から始まり、指数が$4$の倍数のときちょうど1巡することがわかります。
このことから、指数を$4$で割り、その余りから下1桁が何になるのかを調べることができます。
\begin{array}{c|c}余り&下1桁\\[0.5em]\hline1&3\\[0.5em]2&9\\[0.5em]3&7\\[0.5em]0&1\end{array}
$2023$を$4$で割ると$2023\div4=505余り3$となるので、上の表より$2023^{2023}$の下1桁は$\mathbf{7}$となることがわかります。
二項定理を利用しながら解くと以下のようになります。
$2023^{2023}$は、二項定理より
\begin{align*}2023^{2023}&=(2020+3)^{2023}\\[0.5em]&=2020^{2023}+2023\cdot2020^{2022}\cdot3+\cdots\\
&\quad+2023\cdot2020\cdot3^{2022}+3^{2023}\\[0.5em]&=2020\left(\begin{aligned}&2020^{2022}+2023\cdot2020^{2021}\cdot3+\cdots\\
&\quad+2023\cdot3^{2022}\end{aligned}\right)+3^{2023}\end{align*}
と変形することができ、$3^{2023}$の項以外はすべて$2020$の倍数であるため下1桁は$0$なので、$2023^{2023}$の下1桁は$3^{2023}$により決まることがわかります。
$3$の累乗の1つ$3^4=81$を利用して$3^{2023}$を変形すると
\begin{align*}3^{2023}&=3^3\times3^{2020}\\[0.5em]&=3^3\times\left(3^4\right)^{505}\\[0.5em]&=27\times81^{505}\end{align*}
となります。
ここで、$81^{505}$は、二項定理より
\begin{align*}81^{505}&=(80+1)^{505}\\[0.5em]&=80^{505}+505\cdot80^{504}\cdot1+\cdots+505\cdot80\cdot1^{504}+1^{505}\\[0.5em]&=80^{505}+505\cdot80^{504}+\cdots+505\cdot80+1\\[0.5em]&=80\left(80^{504}+505\cdot80^{503}+\cdots+505\right)+1\end{align*}
と変形することができ、$1$の項以外はすべて$80$の倍数であるため$81^{505}$の下1桁は$1$となります。
また、括弧内の$80^{504}+505\cdot80^{503}+\cdots+505$を整数$A$とおいて$3^{2023}$の下1桁について考えると
\begin{align*}3^{2023}&=27\times81^{505}\\[0.5em]&=(20+7)(80A+1)\\[0.5em]&=2160A+27\end{align*}
$2160A$は$2160$の倍数なので下1桁は$0$。したがって$3^{2023}$の下1桁は$27$の下1桁に等しい、すなわち$2023^{2023}$の下1桁は$\mathbf{7}$であることがわかります。
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