3!!と(3!)!の違いは？

　$3!!$と$(3!)!$はどちらも階乗を表していますが、この2つにはどんな違いがあるのでしょうか？

　階乗とは$n!$のように書き、整数$n$から$1$までの整数をすべて掛け合わせる計算をします。

先ほどの$n!$は

$$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$$

のようになります。

総乗を使って表すと

$$n!=\prod_{k=1}^nk$$

となります。

ただし、$n=0$の場合は$0!=1$とします。

　$3!!$は通常の階乗ではなく二重階乗と呼ばれるものです。

階乗$n!$が$n$から$1$までの整数をすべて掛け合わせるのに対し、二重階乗$n!!$は$n$から1つ飛ばしで$1$以上の整数を掛け合わせる計算となります。

すなわち

$$\begin{align*}nが偶数のとき:\\ n!!&=n\times(n-2)\times\cdots\times4\times2\\[1em]nが奇数のとき:\\ n!!&=n\times(n-2)\times\cdots\times3\times1\end{align*}$$

のように$n$が偶数のときは$n$から$1$までの整数の中の偶数のみ、$n$が奇数のときは$n$から$1$までの整数の中の奇数のみを掛け合わせる計算となります。

したがって$3!!$は

$$3!!=3\times1=\underline{3}$$

となります。

二重階乗以外にも三重階乗$n!!!$や四重階乗$n!!!!$というものも存在します。いずれも$(!の個数)-1$個飛ばしで整数を掛け合わせます。

　$(3!)!$は通常の階乗を2回おこなう計算となります。

$$\begin{align*}(3!)!&=(3\times2\times1)!\\[0.5em]&=6!\\[0.5em]&=6\times5\times4\times3\times2\times1\\[0.5em]&=720\end{align*}$$