$3!!$と$(3!)!$はどちらも階乗を表していますが、この2つにはどんな違いがあるのでしょうか？
階乗とは$n!$のように書き、整数$n$から$1$までの整数をすべて掛け合わせる計算をします。
先ほどの$n!$は
\[n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1\]
のようになります。
総乗を使って表すと
\[n!=\prod_{k=1}^nk\]
となります。
ただし、$n=0$の場合は$0!=1$とします。
$3!!$は通常の階乗ではなく二重階乗と呼ばれるものです。
階乗$n!$が$n$から$1$までの整数をすべて掛け合わせるのに対し、二重階乗$n!!$は$n$から1つ飛ばしで$1$以上の整数を掛け合わせる計算となります。
すなわち
\begin{align*}nが偶数のとき:\\
n!!&=n\times(n-2)\times\cdots\times4\times2\\[1em]nが奇数のとき:\\
n!!&=n\times(n-2)\times\cdots\times3\times1\end{align*}
のように$n$が偶数のときは$n$から$1$までの整数の中の偶数のみ、$n$が奇数のときは$n$から$1$までの整数の中の奇数のみを掛け合わせる計算となります。
したがって$3!!$は
\[3!!=3\times1=\underline{3}\]
となります。
二重階乗以外にも三重階乗$n!!!$や四重階乗$n!!!!$というものも存在します。いずれも$(!の個数)-1$個飛ばしで整数を掛け合わせます。
$(3!)!$は通常の階乗を2回行う計算となります。
\begin{align*}(3!)!&=(3\times2\times1)!\\[0.5em]&=6!\\[0.5em]&=6\times5\times4\times3\times2\times1\\[0.5em]&=720\end{align*}
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