平行線と等間隔の点でつくる格子 ~ 数学について考えてみる

　等間隔に引かれた3本の平行線

a, b, c

$a, b, c$ のうち、直線

a

$a$ と

c

$c$ 上にそれぞれ異なる長さで等間隔に3個ずつ点

A_{1}, A_{2}, A_{3}

$\text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3$ と

C_{1}, C_{2}, C_{3}

$\text{C}_1, \text{C}_2, \text{C}_3$ を打ちます。

A_{1}

$\text{A}_1$ と

C_{1}

$\text{C}_1$ 、

A_{2}

$\text{A}_2$ と

C_{2}

$\text{C}_2$ 、

A_{3}

$\text{A}_3$ と

C_{3}

$\text{C}_3$ を直線

d, e, f

$d, e, f$ で結び、直線

b

$b$ との交点をそれぞれ

B_{1}, B_{2}, B_{3}

$\text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3$ とすると、以下が成り立ちます。

\begin{aligned} A_{n} B_{n} & = B_{n} C_{n} \\ X_{1} X_{2} & = X_{2} X_{3} \\ (n = 1, 2, 3. X = A, B, C .) \end{aligned}

$\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n&=\text{B}_n\text{C}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2&=\text{X}_2\text{X}_3\\ &\quad(n=1, 2, 3.\ \text{X}=\text{A, B, C}.)\end{align*}$

これはなぜなのでしょうか？

　まずは、 $\text{A}_n\text{B}_n=\text{B}_n\text{C}_n\ (n=1, 2, 3)$ であることを確かめます。

A_{1}

$\text{A}_1$ から直線

b

$b$ 、

B_{1}

$\text{B}_1$ から直線

c

$c$ へそれぞれ垂線を下ろし、交点を

H_{b}, H_{c}

$\text{H}_b, \text{H}_c$ とします。このとき

△ A_{1} B_{1} H_{b}

$△\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b$ と

△ B_{1} C_{1} H_{c}

$△\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c$ に着目します。

A_{1} H_{b}, B_{1} H_{c}

$\text{A}_1\text{H}_b, \text{B}_1\text{H}_c$ はそれぞれ直線

b, c

$b, c$ に対する垂線なので

∠ A_{1} H_{b} B_{1} = ∠ B_{1} H_{c} C_{1} = 90 °

$∠\text{A}_1\text{H}_b\text{B}_1=∠\text{B}_1\text{H}_c\text{C}_1=90°$ 。

直線

a, b, c

$a, b, c$ は等間隔に引かれた平行線なので

A_{1} H_{b} = B_{1} H_{c}

$\text{A}_1\text{H}_b=\text{B}_1\text{H}_c$ 。

直線

b

$b$ と

c

$c$ は平行なので同位角が等しく、

∠ A_{1} B_{1} H_{b} = ∠ B_{1} C_{1} H_{c}

$∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b=∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c$ が成り立ちます。

このことから

\begin{aligned} ∠ B_{1} A_{1} H_{b} & = 180 ° - (∠ A_{1} H_{b} B_{1} + ∠ A_{1} B_{1} H_{b}) \\ = 180 ° - (90 ° + ∠ A_{1} B_{1} H_{b}) \\ = 90 ° - ∠ A_{1} B_{1} H_{b} \\ ∠ C_{1} B_{1} H_{c} & = 180 ° - (∠ B_{1} H_{c} C_{1} + ∠ B_{1} C_{1} H_{c}) \\ = 180 ° - (90 ° + ∠ B_{1} C_{1} H_{c}) \\ = 90 ° - ∠ B_{1} C_{1} H_{c} \\ ∴ ∠ B_{1} A_{1} H_{b} = ∠ C_{1} B_{1} H_{c} \end{aligned}

$\begin{align*}∠\text{B}_1\text{A}_1\text{H}_b&=180°-(∠\text{A}_1\text{H}_b\text{B}_1+∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b)\\[0.5em]&=180°-(90°+∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b)\\[0.5em]&=90°-∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b\\[1.5em]∠\text{C}_1\text{B}_1\text{H}_c&=180°-(∠\text{B}_1\text{H}_c\text{C}_1+∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c)\\[0.5em]&=180°-(90°+∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c)\\[0.5em]&=90°-∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c\\[1.5em]&\therefore∠\text{B}_1\text{A}_1\text{H}_b=∠\text{C}_1\text{B}_1\text{H}_c\end{align*}$

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ A_{1} B_{1} H_{b}

$△\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b$ と

△ B_{1} C_{1} H_{c}

$△\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c$ は合同であることがわかります。

したがって、 $\text{A}_1\text{B}_1=\text{B}_1\text{C}_1$ となります。
他の直線に関しても同様の方法で示すことができるので、 $\text{A}_n\text{B}_n=\text{B}_n\text{C}_n\ (n=1, 2, 3)$ が成り立つことがわかります。

　次に $\text{X}_1\text{X}_2=\text{X}_2\text{X}_3\ (\text{X}=\text{A, B, C})$ であることを確かめます。

直線

d

$d$ を

A_{1}

$\text{A}_1$ と

A_{2}

$\text{A}_2$ が重なるように平行移動し、平行移動後の直線を

d^{'}

$d'$ とします。

直線

d^{'}

$d'$ と直線

b, c

$b, c$ との交点をそれぞれ

B_{1}^{'}, C_{1}^{'}

$\text{B}_1', \text{C}_1'$ として

△ A_{2} B_{1}^{'} B_{2}

$△\text{A}_2\text{B}_1'\text{B}_2$ と

△ A_{2} C_{1}^{'} C_{2}

$△\text{A}_2\text{C}_1'\text{C}_2$ に着目します。

平行線の同位角より

\begin{aligned} ∠ A_{2} B_{1}^{'} B_{2} & = ∠ A_{2} C_{1}^{'} C_{2} \\ ∠ A_{2} B_{2} B_{1}^{'} & = ∠ A_{2} C_{2} C_{1}^{'} \end{aligned}

$\begin{align*}∠\text{A}_2\text{B}_1'\text{B}_2&=∠\text{A}_2\text{C}_1'\text{C}_2\\[0.5em]∠\text{A}_2\text{B}_2\text{B}_1'&=∠\text{A}_2\text{C}_2\text{C}_1'\end{align*}$

2組の角がそれぞれ等しいので

△ A_{2} B_{1}^{'} B_{2}

$△\text{A}_2\text{B}_1'\text{B}_2$ と

△ A_{2} C_{1}^{'} C_{2}

$△\text{A}_2\text{C}_1'\text{C}_2$ は相似であることがわかります。

相似比と $\text{A}_2\text{B}_1'=\text{B}_1'\text{C}_1'$ から
$\begin{equation}\text{A}_2\text{B}_1':\text{A}_2\text{C}_1'=\text{B}_1'\text{B}_2:\text{C}_1'\text{C}_2=1:2\end{equation}$
です。
また、 $\text{A}_1\text{A}_2=\text{B}_1\text{B}_1'=\text{C}_1\text{C}_1'$ より
$\begin{align}\text{C}_1'\text{C}_2&=\text{C}_1\text{C}_2-\text{A}_1\text{A}_2\begin{aligned}\\[0.5em]\end{aligned}\\ \text{B}_1\text{B}_2&=\text{A}_1\text{A}_2+\text{B}_1'\text{B}_2\end{align}$
です。

　今度は直線

e

$e$ を

A_{2}

$\text{A}_2$ と

A_{3}

$\text{A}_3$ が重なるように平行移動し、平行移動後の直線を

e^{'}

$e'$ とします。

直線

e^{'}

$e'$ と直線

b, c

$b, c$ との交点をそれぞれ

B_{2}^{'}, C_{2}^{'}

$\text{B}_2', \text{C}_2'$ として

△ A_{3} B_{2}^{'} B_{3}

$△\text{A}_3\text{B}_2'\text{B}_3$ と

△ A_{3} C_{2}^{'} C_{3}

$△\text{A}_3\text{C}_2'\text{C}_3$ に着目します。

平行線の同位角より

\begin{aligned} ∠ A_{3} B_{2}^{'} B_{3} & = ∠ A_{3} C_{2}^{'} C_{3} \\ ∠ A_{3} B_{3} B_{2}^{'} & = ∠ A_{3} C_{3} C_{2}^{'} \end{aligned}

$\begin{align*}∠\text{A}_3\text{B}_2'\text{B}_3&=∠\text{A}_3\text{C}_2'\text{C}_3\\[0.5em]∠\text{A}_3\text{B}_3\text{B}_2'&=∠\text{A}_3\text{C}_3\text{C}_2'\end{align*}$

2組の角がそれぞれ等しいので

△ A_{3} B_{2}^{'} B_{3}

$△\text{A}_3\text{B}_2'\text{B}_3$ と

△ A_{3} C_{2}^{'} C_{3}

$△\text{A}_3\text{C}_2'\text{C}_3$ は相似であることがわかります。

相似比と $\text{A}_3\text{B}_2'=\text{B}_2'\text{C}_2'$ から
$\begin{equation}\text{A}_3\text{B}_2':\text{A}_3\text{C}_2'=\text{B}_2'\text{B}_3:\text{C}_2'\text{C}_3=1:2\end{equation}$
です。
また、 $\text{A}_2\text{A}_3=\text{B}_2\text{B}_2'=\text{C}_2\text{C}_2'$ より
$\begin{align}\text{C}_2'\text{C}_3&=\text{C}_2\text{C}_3-\text{A}_2\text{A}_3\begin{aligned}\\[0.5em]\end{aligned}\\ \text{B}_2\text{B}_3&=\text{A}_2\text{A}_3+\text{B}_2'\text{B}_3\end{align}$
です。

ここで、

C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}

$\text{C}_1\text{C}_2=\text{C}_2\text{C}_3$ であることと(2)、(5)より

C_{1} C_{2} = C_{2}^{'} C_{3}

$\text{C}_1\text{C}_2=\text{C}_2'\text{C}_3$ 。

このことと(1)、(3)より

B_{1}^{'} B_{2} = B_{2}^{'} B_{3}

$\text{B}_1'\text{B}_2=\text{B}_2'\text{B}_3$ 。

このことと(3)、(6)より

B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}

$\text{B}_1\text{B}_2=\text{B}_2\text{B}_3$ が導かれます。

したがって、

X_{1} X_{2} = X_{2} X_{3} (X = A, B, C)

$\text{X}_1\text{X}_2=\text{X}_2\text{X}_3\ (\text{X}=\text{A, B, C})$ が成り立つことがわかります。

　上図のように平行線や点の数を増やした場合でも、上記のように合同と相似を利用して

\begin{aligned} A_{n} B_{n} = B_{n} C_{n} & = C_{n} D_{n} = D_{n} E_{n} \\ X_{1} X_{2} = X_{2} X_{3} & = X_{3} X_{4} = X_{4} X_{5} \\ (n = 1, 2, 3, 4, 5. X = A, B, C, D, E .) \end{aligned}

$\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n=\text{B}_n\text{C}_n&=\text{C}_n\text{D}_n=\text{D}_n\text{E}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2=\text{X}_2\text{X}_3&=\text{X}_3\text{X}_4=\text{X}_4\text{X}_5\\ &\quad(n=1, 2, 3, 4, 5.\ \text{X}=\text{A, B, C, D, E}.)\end{align*}$

が成り立つことを確かめることができます。