平行線と等間隔の点でつくる格子

　等間隔に引かれた3本の平行線$a, b, c$のうち、直線$a$と$c$上にそれぞれ異なる長さで等間隔に3個ずつ点$\text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3$と$\text{C}_1, \text{C}_2, \text{C}_3$を打ちます。
$\text{A}_1$と$\text{C}_1$、$\text{A}_2$と$\text{C}_2$、$\text{A}_3$と$\text{C}_3$を直線$d, e, f$で結び、直線$b$との交点をそれぞれ$\text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3$とすると、以下が成り立ちます。

$$\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n&=\text{B}_n\text{C}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2&=\text{X}_2\text{X}_3\\ &\quad(n=1, 2, 3.\ \text{X}=\text{A, B, C}.)\end{align*}$$

これはなぜなのでしょうか？

　まずは、$\text{A}_n\text{B}_n=\text{B}_n\text{C}_n\ (n=1, 2, 3)$であることを確かめます。

$\text{A}_1$から直線$b$、$\text{B}_1$から直線$c$へそれぞれ垂線を下ろし、交点を$\text{H}_b, \text{H}_c$とします。このとき$△\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b$と$△\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c$に着目します。

$\text{A}_1\text{H}_b, \text{B}_1\text{H}_c$はそれぞれ直線$b, c$に対する垂線なので$∠\text{A}_1\text{H}_b\text{B}_1=∠\text{B}_1\text{H}_c\text{C}_1=90°$。

直線$a, b, c$は等間隔に引かれた平行線なので$\text{A}_1\text{H}_b=\text{B}_1\text{H}_c$。

直線$b$と$c$は平行なので同位角が等しく、$∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b=∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c$が成り立ちます。

このことから

$$\begin{align*}∠\text{B}_1\text{A}_1\text{H}_b&=180°-(∠\text{A}_1\text{H}_b\text{B}_1+∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b)\\[0.5em]&=180°-(90°+∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b)\\[0.5em]&=90°-∠\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b\\[1.5em]∠\text{C}_1\text{B}_1\text{H}_c&=180°-(∠\text{B}_1\text{H}_c\text{C}_1+∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c)\\[0.5em]&=180°-(90°+∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c)\\[0.5em]&=90°-∠\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c\\[1.5em]&\therefore∠\text{B}_1\text{A}_1\text{H}_b=∠\text{C}_1\text{B}_1\text{H}_c\end{align*}$$

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので$△\text{A}_1\text{B}_1\text{H}_b$と$△\text{B}_1\text{C}_1\text{H}_c$は合同であることがわかります。

したがって、$\text{A}_1\text{B}_1=\text{B}_1\text{C}_1$となります。
他の直線に関しても同様の方法で示すことができるので、$\text{A}_n\text{B}_n=\text{B}_n\text{C}_n\ (n=1, 2, 3)$が成り立つことがわかります。

　次に$\text{X}_1\text{X}_2=\text{X}_2\text{X}_3\ (\text{X}=\text{A, B, C})$であることを確かめます。

直線$d$を$\text{A}_1$と$\text{A}_2$が重なるように平行移動し、平行移動後の直線を$d'$とします。

直線$d'$と直線$b, c$との交点をそれぞれ$\text{B}_1', \text{C}_1'$として$△\text{A}_2\text{B}_1'\text{B}_2$と$△\text{A}_2\text{C}_1'\text{C}_2$に着目します。

平行線の同位角より

$$\begin{align*}∠\text{A}_2\text{B}_1'\text{B}_2&=∠\text{A}_2\text{C}_1'\text{C}_2\\[0.5em]∠\text{A}_2\text{B}_2\text{B}_1'&=∠\text{A}_2\text{C}_2\text{C}_1'\end{align*}$$

2組の角がそれぞれ等しいので$△\text{A}_2\text{B}_1'\text{B}_2$と$△\text{A}_2\text{C}_1'\text{C}_2$は相似であることがわかります。

相似比と$\text{A}_2\text{B}_1'=\text{B}_1'\text{C}_1'$から
$$\begin{equation}\text{A}_2\text{B}_1':\text{A}_2\text{C}_1'=\text{B}_1'\text{B}_2:\text{C}_1'\text{C}_2=1:2\end{equation}$$
です。
また、$\text{A}_1\text{A}_2=\text{B}_1\text{B}_1'=\text{C}_1\text{C}_1'$より
$$\begin{align}\text{C}_1'\text{C}_2&=\text{C}_1\text{C}_2-\text{A}_1\text{A}_2\begin{aligned}\\[0.5em]\end{aligned}\\ \text{B}_1\text{B}_2&=\text{A}_1\text{A}_2+\text{B}_1'\text{B}_2\end{align}$$
です。

　今度は直線$e$を$\text{A}_2$と$\text{A}_3$が重なるように平行移動し、平行移動後の直線を$e'$とします。

直線$e'$と直線$b, c$との交点をそれぞれ$\text{B}_2', \text{C}_2'$として$△\text{A}_3\text{B}_2'\text{B}_3$と$△\text{A}_3\text{C}_2'\text{C}_3$に着目します。

平行線の同位角より

$$\begin{align*}∠\text{A}_3\text{B}_2'\text{B}_3&=∠\text{A}_3\text{C}_2'\text{C}_3\\[0.5em]∠\text{A}_3\text{B}_3\text{B}_2'&=∠\text{A}_3\text{C}_3\text{C}_2'\end{align*}$$

2組の角がそれぞれ等しいので$△\text{A}_3\text{B}_2'\text{B}_3$と$△\text{A}_3\text{C}_2'\text{C}_3$は相似であることがわかります。

相似比と$\text{A}_3\text{B}_2'=\text{B}_2'\text{C}_2'$から
$$\begin{equation}\text{A}_3\text{B}_2':\text{A}_3\text{C}_2'=\text{B}_2'\text{B}_3:\text{C}_2'\text{C}_3=1:2\end{equation}$$
です。
また、$\text{A}_2\text{A}_3=\text{B}_2\text{B}_2'=\text{C}_2\text{C}_2'$より
$$\begin{align}\text{C}_2'\text{C}_3&=\text{C}_2\text{C}_3-\text{A}_2\text{A}_3\begin{aligned}\\[0.5em]\end{aligned}\\ \text{B}_2\text{B}_3&=\text{A}_2\text{A}_3+\text{B}_2'\text{B}_3\end{align}$$
です。

ここで、$\text{C}_1\text{C}_2=\text{C}_2\text{C}_3$であることと(2)、(5)より$\text{C}_1\text{C}_2=\text{C}_2'\text{C}_3$。

このことと(1)、(3)より$\text{B}_1'\text{B}_2=\text{B}_2'\text{B}_3$。

このことと(3)、(6)より$\text{B}_1\text{B}_2=\text{B}_2\text{B}_3$が導かれます。

したがって、$\text{X}_1\text{X}_2=\text{X}_2\text{X}_3\ (\text{X}=\text{A, B, C})$が成り立つことがわかります。

　上図のように平行線や点の数を増やした場合でも、上記のように合同と相似を利用して

$$\begin{align*}\text{A}_n\text{B}_n=\text{B}_n\text{C}_n&=\text{C}_n\text{D}_n=\text{D}_n\text{E}_n\\[0.5em]\text{X}_1\text{X}_2=\text{X}_2\text{X}_3&=\text{X}_3\text{X}_4=\text{X}_4\text{X}_5\\ &\quad(n=1, 2, 3, 4, 5.\ \text{X}=\text{A, B, C, D, E}.)\end{align*}$$

が成り立つことを確かめることができます。