「$∠\text{A}=135°$である三角形$\text{ABC}$は半径$3$の外接円を持つ。
この三角形の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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この問題を解くには、三角形の面積の公式
\[S=\frac{1}{2}bc\sin∠\text{A}\]
と正弦定理
\[\frac{a}{\sin∠\text{A}}=\frac{b}{\sin∠\text{B}}=\frac{c}{\sin∠\text{C}}=2R\]
を利用します。
正弦定理より
\begin{align*}\frac{b}{\sin∠\text{B}}&=2R\\[0.5em]b&=2R\sin∠\text{B}&\tag{1}\\[1.5em]\frac{c}{\sin∠\text{C}}&=2R\\[0.5em]c&=2R\sin∠\text{C}&\tag{2}\end{align*}
三角形の面積の公式に$(1),(2)$を代入して
\begin{align*}S&=\frac{1}{2}\sin∠\text{A}(2R\sin∠\text{B})(2R\sin∠\text{C})\\[0.5em]&=2R^2\sin∠\text{A}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\end{align*}
$∠\text{A}=135°,R=3$を代入すると
\begin{align*}S&=2\cdot3^2\sin135°\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\\[0.5em]&=18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\\[0.5em]&=9\sqrt{2}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\end{align*}
となります。
ここで、積和の公式
\begin{align*}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}&=-\frac{1}{2}\{\cos(∠\text{B}+∠\text{C})-\cos(∠\text{B}-∠\text{C})\}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos(∠\text{B}+∠\text{C})\}\end{align*}
より
\[S=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos(∠\text{B}+∠\text{C})\}\]
また、三角形の内角の和は$180°$で$∠\text{A}=135°$より、$∠\text{B}+∠\text{C}=45°$なので、
\begin{align*}S&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos45°\}\\[0.5em]&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\left\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\end{align*}
となります。
このとき$\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\cos(∠\text{B}-∠\text{C})\leqq1$となるから、各辺から$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$を引いて$0<\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$です。
さらに各辺に$\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$を掛ければ真ん中の辺は$△\text{ABC}$の面積$S$となるから
\[0<S\leqq\frac{9\sqrt{2}-9}{2}\]
これが求める答えとなります。
この問題が$△\text{ABC}$の面積の最大値と最小値を求める問題であった場合、まずは上記の範囲の端の値になるときの条件を調べます。
$\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$すなわち$\cos(∠\text{B}-∠\text{C})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$となるのは$∠\text{B}-∠\text{C}=\pm45°$すなわち$∠\text{B}=45°,∠\text{C}=0°$または$∠\text{B}=0°,∠\text{C}=45°$のとき、
$\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$すなわち$\cos(∠\text{B}-∠\text{C})=1$となるのは$∠\text{B}-∠\text{C}=0°$すなわち$∠\text{B}=∠\text{C}$のときです。
このことから$∠\text{B}$か$∠\text{C}$が限りなく$0°$に近づいたとき$△\text{ABC}$の面積も限りなく$0$に近づき、$△\text{ABC}$が$∠\text{B}=∠\text{C}=22.5°$である二等辺三角形になったとき面積は$\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}$で最大になることがわかります。
$\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$すなわち$\cos(∠\text{B}-∠\text{C})=1$となるのは$∠\text{B}-∠\text{C}=0°$すなわち$∠\text{B}=∠\text{C}$のときです。
このことから$∠\text{B}$か$∠\text{C}$が限りなく$0°$に近づいたとき$△\text{ABC}$の面積も限りなく$0$に近づき、$△\text{ABC}$が$∠\text{B}=∠\text{C}=22.5°$である二等辺三角形になったとき面積は$\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}$で最大になることがわかります。
ここで最大値・最小値を答えるときの注意点は最大値は$\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}$ですが、最小値はないということです。これは、これが最小だという決まった値がないためです。
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