「∠\text{A}=135°である三角形\text{ABC}は半径3の外接円を持つ。
この三角形の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
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この問題を解くには、三角形の面積の公式
S=\frac{1}{2}bc\sin∠\text{A}
と正弦定理
\frac{a}{\sin∠\text{A}}=\frac{b}{\sin∠\text{B}}=\frac{c}{\sin∠\text{C}}=2R
を利用します。
正弦定理より
\begin{align*}\frac{b}{\sin∠\text{B}}&=2R\\[0.5em]b&=2R\sin∠\text{B}&\tag{1}\\[1.5em]\frac{c}{\sin∠\text{C}}&=2R\\[0.5em]c&=2R\sin∠\text{C}&\tag{2}\end{align*}
三角形の面積の公式に(1),(2)を代入して
\begin{align*}S&=\frac{1}{2}\sin∠\text{A}(2R\sin∠\text{B})(2R\sin∠\text{C})\\[0.5em]&=2R^2\sin∠\text{A}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\end{align*}
∠\text{A}=135°,R=3を代入すると
\begin{align*}S&=2\cdot3^2\sin135°\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\\[0.5em]&=18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\\[0.5em]&=9\sqrt{2}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\end{align*}
となります。
ここで、積和の公式
\begin{align*}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}&=-\frac{1}{2}\{\cos(∠\text{B}+∠\text{C})-\cos(∠\text{B}-∠\text{C})\}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos(∠\text{B}+∠\text{C})\}\end{align*}
より
S=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos(∠\text{B}+∠\text{C})\}
また、三角形の内角の和は180°で∠\text{A}=135°より、∠\text{B}+∠\text{C}=45°なので、
\begin{align*}S&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos45°\}\\[0.5em]&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\left\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\end{align*}
となります。
このとき\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\cos(∠\text{B}-∠\text{C})\leqq1となるから、各辺から\dfrac{\sqrt{2}}{2}を引いて0<\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}です。
さらに各辺に\dfrac{9\sqrt{2}}{2}を掛ければ真ん中の辺は△\text{ABC}の面積Sとなるから
0<S\leqq\frac{9\sqrt{2}-9}{2}
これが求める答えとなります。
この問題が△\text{ABC}の面積の最大値と最小値を求める問題であった場合、まずは上記の範囲の端の値になるときの条件を調べます。
\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0すなわち\cos(∠\text{B}-∠\text{C})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}となるのは∠\text{B}-∠\text{C}=\pm45°すなわち∠\text{B}=45°,∠\text{C}=0°または∠\text{B}=0°,∠\text{C}=45°のとき、
\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}すなわち\cos(∠\text{B}-∠\text{C})=1となるのは∠\text{B}-∠\text{C}=0°すなわち∠\text{B}=∠\text{C}のときです。
このことから∠\text{B}か∠\text{C}が限りなく0°に近づいたとき△\text{ABC}の面積も限りなく0に近づき、△\text{ABC}が∠\text{B}=∠\text{C}=22.5°である二等辺三角形になったとき面積は\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}で最大になることがわかります。
\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}すなわち\cos(∠\text{B}-∠\text{C})=1となるのは∠\text{B}-∠\text{C}=0°すなわち∠\text{B}=∠\text{C}のときです。
このことから∠\text{B}か∠\text{C}が限りなく0°に近づいたとき△\text{ABC}の面積も限りなく0に近づき、△\text{ABC}が∠\text{B}=∠\text{C}=22.5°である二等辺三角形になったとき面積は\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}で最大になることがわかります。
ここで最大値・最小値を答えるときの注意点は最大値は\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}ですが、最小値はないということです。これは、これが最小だという決まった値がないためです。
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