外接円の半径と内角の1つがわかっている三角形の面積のとりうる値の範囲は？

「$∠A=135°$である三角形$ABC$は半径$3$の外接円を持つ。
この三角形の面積$S$のとりうる値の範囲を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　この問題を解くには、三角形の面積の公式

\[S=\frac{1}{2}bc\sin∠A\]

と正弦定理

\[\frac{a}{\sin∠A}=\frac{b}{\sin∠B}=\frac{c}{\sin∠C}=2R\]

を利用します。

関連：なぜ$\sin$を使って三角形の面積を求めることができるのか？

関連：正弦定理

　正弦定理より

\begin{align*}\frac{b}{\sin∠B}&=2R\\[0.5em]b&=2R\sin∠B&\tag{1}\\[1.5em]\frac{c}{\sin∠C}&=2R\\[0.5em]c&=2R\sin∠C&\tag{2}\end{align*}

三角形の面積の公式に$(1),(2)$を代入して

\begin{align*}S&=\frac{1}{2}\sin∠A(2R\sin∠B)(2R\sin∠C)\\[0.5em]&=2R^2\sin∠A\sin∠B\sin∠C\end{align*}

$∠A=135°,R=3$を代入すると

\begin{align*}S&=2\cdot3^2\sin135°\sin∠B\sin∠C\\[0.5em]&=18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\sin∠B\sin∠C\\[0.5em]&=9\sqrt{2}\sin∠B\sin∠C\end{align*}

となります。

ここで、積和の公式

\begin{align*}\sin∠B\sin∠C&=-\frac{1}{2}\{\cos(∠B+∠C)-\cos(∠B-∠C)\}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\{\cos(∠B-∠C)-\cos(∠B+∠C)\}\end{align*}

より

\[S=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠B-∠C)-\cos(∠B+∠C)\}\]

また、三角形の内角の和は$180°$で$∠A=135°$より、$∠B+∠C=45°$なので、

\begin{align*}S&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠B-∠C)-\cos45°\}\\[0.5em]&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\left\{\cos(∠B-∠C)-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\end{align*}

となります。

関連：積和の公式・和積の公式

$∠B+∠C=45°$より$0°<∠B<45°,0°<∠C<45°$なので、$-45°<∠B-∠C<45°$です。

このとき$\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\cos(∠B-∠C)\leqq1$となるから、各辺から$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$を引いて$0<\cos(∠B-∠C)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$です。

さらに各辺に$\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$を掛ければ真ん中の辺は$△ABC$の面積$S$となるから

\[0<S\leqq\frac{9\sqrt{2}-9}{2}\]

これが求める答えとなります。

　この問題が$△ABC$の面積の最大値と最小値を求める問題であった場合、まずは上記の範囲の端の値になるときの条件を調べます。

$\cos(∠B-∠C)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$すなわち$\cos(∠B-∠C)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$となるのは$∠B-∠C=\pm45°$すなわち$∠B=45°,∠C=0°$または$∠B=0°,∠C=45°$のとき、
$\cos(∠B-∠C)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$すなわち$\cos(∠B-∠C)=1$となるのは$∠B-∠C=0°$すなわち$∠B=∠C$のときです。
このことから$∠B$か$∠C$が限りなく$0°$に近づいたとき$△ABC$の面積も限りなく$0$に近づき、$△ABC$が$∠B=∠C=22.5°$である二等辺三角形になったとき面積は$\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}$で最大になることがわかります。

ここで最大値・最小値を答えるときの注意点は最大値は$\dfrac{9\sqrt{2}-9}{2}$ですが、最小値はないということです。これは、これが最小だという決まった値がないためです。

関連：最大値・最小値が「ない」ときとは？