外接円の半径と内角の1つがわかっている三角形の面積のとりうる値の範囲は？ ~ 数学について考えてみる

2023年1月9日

外接円の半径と内角の1つがわかっている三角形の面積のとりうる値の範囲は？

PLUMBAGO

「 $∠\text{A}=135°$ である三角形 $\text{ABC}$ は半径 $3$ の外接円を持つ。
この三角形の面積 $S$ のとりうる値の範囲を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　この問題を解くには、三角形の面積の公式

S = \frac{1}{2} b c \sin ∠ A

$S=\frac{1}{2}bc\sin∠\text{A}$

と正弦定理

\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C} = 2 R

$\frac{a}{\sin∠\text{A}}=\frac{b}{\sin∠\text{B}}=\frac{c}{\sin∠\text{C}}=2R$

を利用します。

　正弦定理より

\begin{aligned} \frac{b}{\sin ∠ B} & = 2 R \\ (1) & b & = 2 R \sin ∠ B \\ \frac{c}{\sin ∠ C} & = 2 R \\ (2) & c & = 2 R \sin ∠ C \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{b}{\sin∠\text{B}}&=2R\\[0.5em]b&=2R\sin∠\text{B}&\tag{1}\\[1.5em]\frac{c}{\sin∠\text{C}}&=2R\\[0.5em]c&=2R\sin∠\text{C}&\tag{2}\end{align*}$

三角形の面積の公式に

(1), (2)

$(1),(2)$ を代入して

\begin{aligned} S & = \frac{1}{2} \sin ∠ A (2 R \sin ∠ B) (2 R \sin ∠ C) \\ = 2 R^{2} \sin ∠ A \sin ∠ B \sin ∠ C \end{aligned}

$\begin{align*}S&=\frac{1}{2}\sin∠\text{A}(2R\sin∠\text{B})(2R\sin∠\text{C})\\[0.5em]&=2R^2\sin∠\text{A}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\end{align*}$

∠ A = 135 °, R = 3

$∠\text{A}=135°,R=3$ を代入すると

\begin{aligned} S & = 2 \cdot 3^{2} \sin 135 ° \sin ∠ B \sin ∠ C \\ = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin ∠ B \sin ∠ C \\ = 9 \sqrt{2} \sin ∠ B \sin ∠ C \end{aligned}

$\begin{align*}S&=2\cdot3^2\sin135°\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\\[0.5em]&=18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\\[0.5em]&=9\sqrt{2}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}\end{align*}$

となります。

ここで、積和の公式

\begin{aligned} \sin ∠ B \sin ∠ C & = - \frac{1}{2} {\cos (∠ B + ∠ C) - \cos (∠ B - ∠ C)} \\ = \frac{1}{2} {\cos (∠ B - ∠ C) - \cos (∠ B + ∠ C)} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin∠\text{B}\sin∠\text{C}&=-\frac{1}{2}\{\cos(∠\text{B}+∠\text{C})-\cos(∠\text{B}-∠\text{C})\}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos(∠\text{B}+∠\text{C})\}\end{align*}$

より

S = \frac{9 \sqrt{2}}{2} {\cos (∠ B - ∠ C) - \cos (∠ B + ∠ C)}

$S=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos(∠\text{B}+∠\text{C})\}$

また、三角形の内角の和は

180 °

$180°$ で

∠ A = 135 °

$∠\text{A}=135°$ より、

∠ B + ∠ C = 45 °

$∠\text{B}+∠\text{C}=45°$ なので、

\begin{aligned} S & = \frac{9 \sqrt{2}}{2} {\cos (∠ B - ∠ C) - \cos 45 °} \\ = \frac{9 \sqrt{2}}{2} {\cos (∠ B - ∠ C) - \frac{\sqrt{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align*}S&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\cos45°\}\\[0.5em]&=\frac{9\sqrt{2}}{2}\left\{\cos(∠\text{B}-∠\text{C})-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\end{align*}$

となります。