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| 図1 三角形ABC |
三角比を利用して図1のような三角形$ABC$の面積は
\begin{equation}△ABC=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{equation}
で求めることができます。
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| 図2 ABに対してCから垂線を引く |
図2のように頂点Cから辺$AB$に垂線を下ろし交点を$D$とします。
$△ADC$は直角三角形で$CD$の長さが$△ABC$の高さとなります。
三角比を利用して$CD$の長さを求めると
\begin{align*}\sinθ&=\frac{CD}{AC}\\ CD&=AC\sinθ\end{align*}
したがって、$△ABC$の面積は
\begin{align*}△ABC&=\frac{1}{2}AB× CD\\ &=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{align*}
となり、(1)と同じ式を導くことができました。
先程は$∠A$が鋭角の場合なので、鈍角である場合についても考えます。
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| 図3 ∠Aが鈍角である場合 |
半直線$BA$に対して頂点$C$から垂線を下ろし、その交点を$D$とします。
$△DAC$は直角三角形で、$CD$は$△ABC$の高さに相当します。また、$∠DAC$は$∠A$の外角であるため$180°-θ$です。
\begin{align*}\sin(180°-θ)&=\frac{CD}{AC}\\ CD&=AC\sin(180°-θ)\end{align*}
$\sin(180°-θ)=\sinθ$なので、
\[CD=AC\sinθ\]
したがって、$△ABC$の面積は
\begin{align*}△ABC&=\frac{1}{2}AB× CD\\ &=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{align*}
となり、こちらも(1)と同じ式となることがわかりました。
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