横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2021年9月5日

なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか?

図1 三角形\text{ABC}
 三角比を利用して図1のような三角形ABCABCの面積は
ABC=12ABACsinθ
で求めることができます。

なぜこの式で三角形の面積を求めることができるのでしょうか?


図2 \text{AB}に対して\text{C}から垂線を引く
 図2のように頂点\text{C}から辺ABに垂線を下ろし交点をDとします。
ADCは直角三角形でCDの長さがABCの高さとなります。
三角比を利用してCDの長さを求めると
sinθ=CDACCD=ACsinθ
したがって、ABCの面積は
ABC=12ABCD=12ABACsinθ
となり、(1)と同じ式を導くことができました。

 先程はAが鋭角の場合なので、鈍角である場合についても考えます。
図3 ∠\text{A}が鈍角である場合
半直線BAに対して頂点Cから垂線を下ろし、その交点をDとします。
DACは直角三角形で、CDABCの高さに相当します。また、DACAの外角であるため180°θです。
sin(180°θ)=CDACCD=ACsin(180°θ)
sin(180°θ)=sinθなので
CD=ACsinθ
したがって、ABCの面積は
ABC=12ABCD=12ABACsinθ
となり、こちらも(1)と同じ式となることがわかりました。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

Blog Archive

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ