なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか？

図1　三角形ABC

　三角比を利用して図1のような三角形$ABC$の面積は

\begin{equation}△ABC=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{equation}

で求めることができます。

なぜこの式で三角形の面積を求めることができるのでしょうか？

図2　ABに対してCから垂線を引く

　図2のように頂点Cから辺$AB$に垂線を下ろし交点を$D$とします。
$△ADC$は直角三角形で$CD$の長さが$△ABC$の高さとなります。

三角比を利用して$CD$の長さを求めると

\begin{align*}\sinθ&=\frac{CD}{AC}\\[0.5em]CD&=AC\sinθ\end{align*}

したがって、$△ABC$の面積は

\begin{align*}△ABC&=\frac{1}{2}AB× CD\\[0.5em]&=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{align*}

となり、$(1)$と同じ式を導くことができました。

　先程は$∠A$が鋭角の場合なので、鈍角である場合についても考えます。

図3　∠Aが鈍角である場合

半直線$BA$に対して頂点$C$から垂線を下ろし、その交点を$D$とします。
$△DAC$は直角三角形で、$CD$は$△ABC$の高さに相当します。また、$∠DAC$は$∠A$の外角であるため$180°-θ$です。

\begin{align*}\sin(180°-θ)&=\frac{CD}{AC}\\[0.5em]CD&=AC\sin(180°-θ)\end{align*}

$\sin(180°-θ)=\sinθ$なので

\[CD=AC\sinθ\]

したがって、$△ABC$の面積は

\begin{align*}△ABC&=\frac{1}{2}AB× CD\\[0.5em]&=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{align*}

となり、こちらも$(1)$と同じ式となることがわかりました。

関連：三角比で平行四辺形の面積を求める