なぜこの式で三角形の面積を求めることができるのでしょうか?
三角比を利用してCDの長さを求めると
sinθ=CDACCD=ACsinθ
したがって、△ABCの面積は
△ABC=12AB⋅CD=12AB⋅ACsinθ
となり、(1)と同じ式を導くことができました。
先程は∠Aが鋭角の場合なので、鈍角である場合についても考えます。
半直線BAに対して頂点Cから垂線を下ろし、その交点をDとします。
△DACは直角三角形で、CDは△ABCの高さに相当します。また、∠DACは∠Aの外角であるため180°−θです。
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図3 ∠\text{A}が鈍角である場合 |
△DACは直角三角形で、CDは△ABCの高さに相当します。また、∠DACは∠Aの外角であるため180°−θです。
sin(180°−θ)=CDACCD=ACsin(180°−θ)
sin(180°−θ)=sinθなので
CD=ACsinθ
したがって、△ABCの面積は
△ABC=12AB⋅CD=12AB⋅ACsinθ
となり、こちらも(1)と同じ式となることがわかりました。
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