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2021年9月5日

なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか?

図1 三角形\text{ABC}
 三角比を利用して図1のような三角形\text{ABC}の面積は
\begin{equation}△\text{ABC}=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{AC}\sinθ\end{equation}
で求めることができます。

なぜこの式で三角形の面積を求めることができるのでしょうか?


図2 \text{AB}に対して\text{C}から垂線を引く
 図2のように頂点\text{C}から辺\text{AB}に垂線を下ろし交点を\text{D}とします。
△\text{ADC}は直角三角形で\text{CD}の長さが△\text{ABC}の高さとなります。
三角比を利用して\text{CD}の長さを求めると
\begin{align*}\sinθ&=\frac{\text{CD}}{\text{AC}}\\[0.5em]\text{CD}&=\text{AC}\sinθ\end{align*}
したがって、△\text{ABC}の面積は
\begin{align*}△\text{ABC}&=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{CD}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{AC}\sinθ\end{align*}
となり、(1)と同じ式を導くことができました。

 先程は∠\text{A}が鋭角の場合なので、鈍角である場合についても考えます。
図3 ∠\text{A}が鈍角である場合
半直線\text{BA}に対して頂点\text{C}から垂線を下ろし、その交点を\text{D}とします。
△\text{DAC}は直角三角形で、\text{CD}△\text{ABC}の高さに相当します。また、∠\text{DAC}∠\text{A}の外角であるため180°-θです。
\begin{align*}\sin(180°-θ)&=\frac{\text{CD}}{\text{AC}}\\[0.5em]\text{CD}&=\text{AC}\sin(180°-θ)\end{align*}
\sin(180°-θ)=\sinθなので
\text{CD}=\text{AC}\sinθ
したがって、△\text{ABC}の面積は
\begin{align*}△\text{ABC}&=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{CD}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot\text{AC}\sinθ\end{align*}
となり、こちらも(1)と同じ式となることがわかりました。

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