半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは？

図1　円が2個入った正方形

「半径が同じ2つの円が接している図形が正方形に内接している。円の半径が2のとき、正方形の1辺の長さはいくつになるか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　図2のように円の中心同士をつないだ線分と正方形の辺に平行な線を引くと、円の中心同士をつないだ線分を斜辺とする直角二等辺三角形ができます。

図2　直角二等辺三角形

斜辺の長さは、円の半径2個分なので4です。

等辺の長さをxとおくと三平方の定理より、

\begin{align*}x^2+x^2&=4^2\\ 2x^2&=16\\ x^2&=8\\ x&=2\sqrt{2}\qquad(x>0)\end{align*}

となります。

したがって、正方形の1辺の長さは、

\[2+2\sqrt{2}+2=4+2\sqrt{2}\]

とわかります。