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2021年9月3日

半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは?

2つの合同な円が収まる正方形の1辺の長さは?
「半径が同じ2つの円が上図のように正方形の中におさまっている。円の半径が2のとき、正方形の1辺の長さはいくつになるか?」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


円の中心から正方形の各辺に平行な直線を引いて小さな正方形と長方形に分割
 それぞれの円の中心から正方形(以下、正方形A)の各辺に平行な直線を引きます。すると、それぞれの直線は正方形の辺と垂直に交わるので、正方形の四隅に合同な4つの正方形(以下、正方形B)、正方形の中央に小さな正方形(以下、正方形C)、そして正方形Cに隣接する合同な4つの長方形ができます。

正方形Bの1辺の長さは、円の半径に等しい2であり、長方形の1組の対辺の長さも2となります。
正方形Cの1辺の長さをxとすると、長方形のもう1組の対辺の長さもxとなります。

したがって、正方形Aの1辺の長さは正方形Bの1辺の長さ2つと長方形のもう1組の対辺の長さの和に等しいので、4+xと表せることがわかります。


 次に正方形Cの1辺の長さを求めます。
中央の正方形の1辺の長さを三平方の定理で求める
2つの円の中心を結ぶと、これは正方形Cの対角線でもあります。
対角線を引くことによって上図のように直角二等辺三角形ができます。
この直角二等辺三角形の等辺は正方形Cの1辺の長さに等しいのでx、斜辺の長さは2つの円の半径の和となるので4です。
すると、三平方の定理より
\begin{align*}x^2+x^2&=4^2\\[0.5em]2x^2&=16\\[0.5em]x^2&=8\\[0.5em]x&=2\sqrt{2}&(\because x>0)\end{align*}
と正方形Cの1辺の長さが求められます。
以上より、正方形Aの1辺の長さは
4+x=4+2\sqrt{2}

であるとわかります。

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