半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは？ ~ 数学について考えてみる

2021年9月3日

PLUMBAGO

「半径が同じ2つの円が上図のように正方形の中におさまっている。円の半径が2のとき、正方形の1辺の長さはいくつになるか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　それぞれの円の中心から正方形（以下、正方形

A

$A$ ）の各辺に平行な直線を引きます。すると、それぞれの直線は正方形の辺と垂直に交わるので、正方形の四隅に合同な4つの正方形（以下、正方形

B

$B$ ）、正方形の中央に小さな正方形（以下、正方形

C

$C$ ）、そして正方形

C

$C$ に隣接する合同な4つの長方形ができます。

正方形 $B$ の1辺の長さは、円の半径に等しい $2$ であり、長方形の1組の対辺の長さも $2$ となります。
正方形 $C$ の1辺の長さを $x$ とすると、長方形のもう1組の対辺の長さも $x$ となります。

したがって、正方形 $A$ の1辺の長さは正方形 $B$ の1辺の長さ2つと長方形のもう1組の対辺の長さの和に等しいので、 $4+x$ と表せることがわかります。

　次に正方形

C

$C$ の1辺の長さを求めます。

2つの円の中心を結ぶと、これは正方形

C

$C$ の対角線でもあります。
対角線を引くことによって上図のように直角二等辺三角形ができます。
この直角二等辺三角形の等辺は正方形

C

$C$ の1辺の長さに等しいので

x

$x$ 、斜辺の長さは2つの円の半径の和となるので

4

$4$ です。

すると、三平方の定理より

\begin{aligned} x^{2} + x^{2} & = 4^{2} \\ 2 x^{2} & = 16 \\ x^{2} & = 8 \\ x & = 2 \sqrt{2} & (∵ x > 0) \end{aligned}

$\begin{align*}x^2+x^2&=4^2\\[0.5em]2x^2&=16\\[0.5em]x^2&=8\\[0.5em]x&=2\sqrt{2}&(\because x>0)\end{align*}$

と正方形

C

$C$ の1辺の長さが求められます。

以上より、正方形

A

$A$ の1辺の長さは

4 + x = 4 + 2 \sqrt{2}

$4+x=4+2\sqrt{2}$

であるとわかります。

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