床と2つの円に囲まれた正方形 ~ 数学について考えてみる

2021年9月18日

PLUMBAGO

図1　床と2つの円に囲まれた正方形

「床の上に半径が1の2つの円が接するように置かれている。この2つの円に接するように正方形が床の上に置かれているとき正方形の1辺の長さはいくつになるか？」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

図2　円の中心と正方形との接点を線で結ぶ

　一方の円と正方形に着目し、円の中心と正方形との接点を結ぶ線分を対角線とする長方形を描きます。
正方形の1辺の長さを

2 x

$2x$ とおくと、長方形の短辺は

1 - 2 x

$1-2x$ 、長辺は

1 - x

$1-x$ となります。
また、長方形の対角線は円の半径でもあるため長さは

1

$1$ です。

この長方形を対角線で半分にした直角三角形は、三平方の定理より

1^{2} = (1 - 2 x)^{2} + (1 - x)^{2}

$1^2=(1-2x)^2+(1-x)^2$

となります。

これを解くと

\begin{aligned} 1 & = (1 - 4 x + 4 x^{2}) + (1 - 2 x + x^{2}) \\ = 2 - 6 x + 5 x^{2} \\ 5 x^{2} - 6 x + 1 & = 0 \\ (5 x - 1) (x - 1) & = 0 \\ x & = \frac{1}{5}, 1 \end{aligned}

$\begin{align*}1&=(1-4x+4x^2)+(1-2x+x^2)\\[0.5em]&=2-6x+5x^2\\[0.5em]5x^2-6x+1&=0\\[0.5em](5x-1)(x-1)&=0\\[0.5em]x&=\frac{1}{5},1\end{align*}$

となります。

x = 1

$x=1$ のとき、正方形が円と重なってしまうので、解として適しているのは

x = \frac{1}{5}

$x=\dfrac{1}{5}$ です。

したがって、正方形の1辺の長さは

2 x = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

$2x=2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$

となります。

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