2次式の因数分解と平方完成の違い ~ 数学について考えてみる

2021年9月16日

2次式の因数分解と平方完成の違い

PLUMBAGO

　例として $x^2-6xy+5y^2$ という多項式について考えます。

因数分解すると

\begin{aligned} x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} & = x^{2} - x y - 5 x y + (- 1) \times (- 5) y^{2} \\ = \underline{(x - y) (x - 5 y)} \end{aligned}

$\begin{align*}x^2-6xy+5y^2&=x^2-xy-5xy+(-1)×(-5)y^2\\[0.5em]&=\underline{(x-y)(x-5y)}\end{align*}$

平方完成すると

\begin{aligned} x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} & = (x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}) - 9 y^{2} + 5 y^{2} \\ = \underline{(x - 3 y)^{2} - 4 y^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*}x^2-6xy+5y^2&=(x^2-6xy+9y^2)-9y^2+5y^2\\[0.5em]&=\underline{(x-3y)^2-4y^2}\end{align*}$

となります。

　因数分解は、 $(x-y)$ と $(x-5y)$ が省略されていますが"×"でつながっています。
$A× B$ の $A$ と $B$ のように"×"でつながっているものを因数といい、因数だけの式にすることを因数分解といいます。
$A$ や $B$ に入るのは $x-y$ や $x-3y$ のような多項式がカッコで囲われているものも含まれます。