2次式の因数分解と平方完成の違い

　例として$x^2-6xy+5y^2$という多項式について考えます。

因数分解すると

$$\begin{align*}x^2-6xy+5y^2&=x^2-xy-5xy+(-1)×(-5)y^2\\[0.5em]&=\underline{(x-y)(x-5y)}\end{align*}$$

平方完成すると

$$\begin{align*}x^2-6xy+5y^2&=(x^2-6xy+9y^2)-9y^2+5y^2\\[0.5em]&=\underline{(x-3y)^2-4y^2}\end{align*}$$

となります。

　因数分解は、$(x-y)$と$(x-5y)$が省略されていますが"×"でつながっています。
$A× B$の$A$と$B$のように"×"でつながっているものを因数といい、因数だけの式にすることを因数分解といいます。
$A$や$B$に入るのは$x-y$や$x-3y$のような多項式がカッコで囲われているものも含まれます。

　一方、平方完成は$(x-3y)$が2乗であるから$(x-3y)$が2個"×"でつながっていることになりますが、$4y^2$とは"-"でつながっています。
すべて"×"でつながっていないので、平方完成と因数分解は別物です。

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