10進数
10進数の数として例えば$(1234)_{10}$について考えてみます。
これをを繰り返し10で割ってみます。
10で割ったあと余りを出し、商をさらに10で割ります。この計算をしやすいように割り算の筆算を逆さまにしたような書き方で行います。
商が0になるまで割り続け、余りの数を下から並べ直すと元の$1234$という数が出てきます。
10で1回割ると10より小さい$4$が余りとして出てきます。
\[1234=10× 123+4\]
これを式で表すと上のようになります。10に掛けている数が商となります。
商の$123$を10で割ると次は余りとして$3$が出てきます。
\begin{align*}1234&=10(10× 12+3)+4\\ &=100× 12+10× 3+4\end{align*}
$123$を$10× 12+3$とすることで商の$12$と余りの$3$に分解しています。
これを繰り返していきます。
\begin{align*}1234&=100(10× 1+2)+10× 3+4\\ &=1000× 1+100× 2+10× 3+4\end{align*}
これで、$(1234)_{10}$を位ごとに分解することができました。これが筆算で行っていることです。
位を10で表すと10の累乗となり、
\[1234=10^3× 1+10^2× 2+10^1× 3+10^0× 4\]
と書けます。このことからも10で繰り返し割ることで位の数ごとに分解することができることがわかると思います。
2進数
上で行った筆算を2進数でもやってみます。割る数は2進数なので$2$です。
余りを下から並べると$(10011010010)_2$となり、これが$(1234)_{10}$を2進数変換した数となります。
10進数のときのように2の累乗を使った式をつくると、
\begin{align*}1234&=2^{10}× 1+2^9× 0+2^8× 1+2^7× 1\\ &\quad+2^6× 1+2^5× 0+2^4× 1+2^3× 0\\ &\qquad+2^2× 0+2^1× 1+2^0× 0\\ &=2^{10}× 1+2^7× 1+2^6× 1+2^4× 1+2^1× 1\end{align*}
となるため2進数の数の一番下の桁から一の位、二($2^1$)の位、四($2^2$)の位、八($2^3$)の位……となっていることがわかります。
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