立方根の方程式 ~ 数学について考えてみる

2021年9月20日

PLUMBAGO

次の方程式を解け。

\sqrt[3]{3 x + 2} - \sqrt[3]{x - 2} = \sqrt[3]{x + 2}

$\sqrt[3]{3x+2}-\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{x+2}$

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　3乗根（立方根）を消すためには両辺を3乗することになりますが、左辺は立方根同士の和であるため3乗しても立方根はキレイには消えません。一見、解くのが面倒なように思えます。
　そこで

\sqrt[3]{3 x + 2} = a, \sqrt[3]{x - 2} = b

$\sqrt[3]{3x+2}=a,\sqrt[3]{x-2}=b$ とおくと、

\begin{matrix} a - b = \sqrt[3]{x + 2} \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}a-b=\sqrt[3]{x+2}\end{equation}$

となります。

左辺の3乗は展開の公式より

\begin{matrix} (a + b)^{3} & = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b) \end{matrix}

$\begin{align*}(a+b)^3&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\[0.5em] &=a^3-b^3-3ab(a-b)\end{align*}$

となり、(1)より

(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b \sqrt[3]{x + 2}

$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab\sqrt[3]{x+2}$

さらに

a, b

$a,b$ を元に戻すと

(a - b)^{3} = (3 x + 2) - (x - 2) - 3 \sqrt[3]{(3 x + 2) (x - 2) (x + 2)}

$(a-b)^3=(3x+2)-(x-2)-3\sqrt[3]{(3x+2)(x-2)(x+2)}$

となります。

したがって、問の方程式の両辺を3乗したものは

(3 x + 2) - (x - 2) - 3 \sqrt[3]{(3 x + 2) (x - 2) (x + 2)} = x + 2

$(3x+2)-(x-2)-3\sqrt[3]{(3x+2)(x-2)(x+2)}=x+2$

となります。これを整理して

3 \sqrt[3]{(3 x + 2) (x - 2) (x + 2)} = x + 2

$3\sqrt[3]{(3x+2)(x-2)(x+2)}=x+2$

さらに両辺を3乗すると、

\begin{matrix} (3 x + 2) (x - 2) (x + 2) & = x + 2 (3 x + 2) (x - 2) & = 1 3 x^{2} - 4 x - 4 & = 1 3 x^{2} - 4 x - 5 & = 0 \end{matrix}

$\begin{align*}(3x+2)(x-2)(x+2)&=x+2\\[0.5em] (3x+2)(x-2)&=1\\[0.5em]3x^2-4x-4&=1\\[0.5em] 3x^2-4x-5&=0\end{align*}$

立方根の方程式が2次方程式になり、解の公式より

$\begin{align*}x&=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4× 3×(-5)}}{3× 2}\\[0.5em]&=\frac{4\pm\sqrt{76}}{6}\\[0.5em]&=\frac{2\pm\sqrt{19}}{3}\end{align*}$

となり、これが問の方程式の解となります。

参考：Can you solve the sum of cube roots problem? - YouTube (https://www.youtube.com/watch?v=LrEZgcM_dB0)

上に紹介した動画を公開しているチャンネルは英語ですが、様々な数学の問題を扱っているので面白いです。
↓はそのチャンネルの最新動画です。

トップ画像：Image by Dmitriy from Pixabay

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