次の方程式を解け。
\[\sqrt[3]{3x+2}-\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{x+2}\]
3乗根（立方根）を消すためには両辺を3乗することになりますが、左辺は立方根同士の和であるため3乗しても立方根はキレイには消えません。一見、解くのが面倒なように思えます。
そこで$\sqrt[3]{3x+2}=a,\sqrt[3]{x-2}=b$とおくと、
\begin{equation}a-b=\sqrt[3]{x+2}\end{equation}
となります。
左辺の3乗は展開の公式より
\begin{align*}(a+b)^3&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\[0.5em]
&=a^3-b^3-3ab(a-b)\end{align*}
となり、(1)より
\[(a-b)^3=a^3-b^3-3ab\sqrt[3]{x+2}\]
さらに$a,b$を元に戻すと
\[(a-b)^3=(3x+2)-(x-2)-3\sqrt[3]{(3x+2)(x-2)(x+2)}\]
となります。
したがって、問の方程式の両辺を3乗したものは
\[(3x+2)-(x-2)-3\sqrt[3]{(3x+2)(x-2)(x+2)}=x+2\]
となります。これを整理して
\[3\sqrt[3]{(3x+2)(x-2)(x+2)}=x+2\]
さらに両辺を3乗すると、
\begin{align*}(3x+2)(x-2)(x+2)&=x+2\\[0.5em]
(3x+2)(x-2)&=1\\[0.5em]3x^2-4x-4&=1\\[0.5em]
3x^2-4x-5&=0\end{align*}
立方根の方程式が2次方程式になり、解の公式より、
\begin{align*}x&=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4× 3×(-5)}}{3×
2}\\[0.5em]&=\frac{4\pm\sqrt{76}}{6}\\[0.5em]&=\frac{2\pm\sqrt{19}}{3}\end{align*}
となり、これが問の方程式の解となります。
参考：Can you solve the sum of cube roots problem? - YouTube (https://www.youtube.com/watch?v=LrEZgcM_dB0)
上に紹介した動画を公開しているチャンネルは英語ですが、様々な数学の問題を扱っているので面白いです。
↓はそのチャンネルの最新動画です。
画像：StartupStockPhotosによるPixabayからの画像
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