\[∠\text{CAT}=∠\text{ABC}\]
という関係が成り立ちます。この関係は接弦定理と呼ばれます。
本当に接弦定理は成り立つのでしょうか？確かめてみます。
$∠\text{ABC}$が鋭角の場合、直角の場合、鈍角の場合の3つに分けて考えてみます。
$∠\text{ABC}$が鋭角の場合
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このとき、$△\text{AB'C}$は$∠\text{ACB'}=90°$の直角三角形で、円周角の定理より
\begin{equation}∠\text{ABC}=∠\text{AB'C}\end{equation}
となります。
$△\text{AB'C}$の2つの鋭角の和は$90°$なので
さらに$∠\text{B'AT}=∠\text{B'AC}+∠\text{CAT}$より
\begin{equation}∠\text{AB'C}+∠\text{B'AC}=90°\end{equation}
円の接線は円の中心と接点を通る直径に垂直なので$∠\text{B'AT}=90°$
さらに$∠\text{B'AT}=∠\text{B'AC}+∠\text{CAT}$より
\begin{equation}∠\text{B'AC}+∠\text{CAT}=90°\end{equation}
$(2)-(3)$より
\begin{align*}∠\text{AB'C}-∠\text{CAT}&=0°\\[0.5em]\therefore∠\text{CAT}&=∠\text{AB'C}\end{align*}
$(1)$より
\[∠\text{CAT}=∠\text{ABC}\]
となり、鋭角$\text{ABC}$のとき接弦定理が成り立つことがわかります。
$∠\text{ABC}$が直角の場合
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そして、直径$\text{AC}$は接線$\text{AT}$に対して垂直なので$∠\text{CAT}=90°$
したがって、
\[∠\text{CAT}=∠\text{ABC}\]
となり、直角$\text{ABC}$のとき接弦定理が成り立つことがわかります。
$∠\text{ABC}$が鈍角の場合
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このとき、直径$\text{AB'}$は接線$\text{AT}$に対して垂直なので
\begin{equation}∠\text{B'AT}=90°\end{equation}
四角形$\text{ABCB'}$に着目すると、円に内接する四角形の対角の和より
\begin{align*}∠\text{ABC}+∠\text{AB'C}&=180°\\[0.5em]\therefore∠\text{ABC}&=180°-∠\text{AB'C}\tag5\end{align*}
$△\text{AB'C}$に着目すると、直角三角形の2つの鋭角の和は$90°$なので
\begin{align*}∠\text{AB'C}+∠\text{B'AC}&=90°\\[0.5em]\therefore∠\text{B'AC}&=90°-∠\text{AB'C}\tag6\end{align*}
$∠\text{CAT}=∠\text{B'AC}+∠\text{B'AT}$、$(4), (6)$より
\begin{align*}∠\text{CAT}&=\bigl(90°-∠\text{AB'C}\bigr)+90°\\[0.5em]&=180°-∠\text{AB'C}\end{align*}
$(5)$より
\[∠\text{CAT}=∠\text{ABC}\]
となり、鈍角$\text{ABC}$のとき接弦定理が成り立つことがわかります。
以上より$∠\text{ABC}$がどのような大きさであっても接弦定理が成り立つことがわかります。
(2023/9)内容を修正しました。
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