円周角∠\text{ABC}の点\text{A}を通る接線を引き、弦\text{AC}と接線がつくる角∠\text{CAT}が△\text{ABC}の外側にあるように点\text{T}をとると∠\text{CAT}=∠\text{ABC}が成り立つ。
という定理です。
この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか？
接弦定理は以下のように書き換えることができます。
△\text{ABC}とその外部の角\text{CAT}について、直線\text{AT}が△\text{ABC}の外接円の接線ならば∠\text{CAT}=∠\text{ABC}が成り立つ。
すると、接弦定理の逆は以下のようになります。
△\text{ABC}とその外部の角\text{CAP}について、∠\text{CAP}=∠\text{ABC}が成り立つならば直線\text{AP}は△\text{ABC}の外接円の接線である。
これが正しいことを確かめます。
∠\text{ABC}が鋭角の場合
\begin{equation}∠\text{CAP}=∠\text{ABC}\end{equation}
△\text{ABC}の外接円\text{O}を描き、点\text{A}を端点とする円\text{O}の直径の他端を\text{B'}とします。
△\text{ABC}の頂点\text{B}を点\text{B'}へ移動させると、円周角の定理より
\begin{equation}∠\text{ABC}=∠\text{AB'C}\end{equation}
となります。
また、△\text{AB'C}は∠\text{AB'C}=90°である直角三角形で、2つの鋭角の和は90°となるので
\begin{equation}∠\text{AB'C}+∠\text{B'AC}=90°\end{equation}
ここで円\text{O}の直径\text{AB'}と直線\text{AP}のなす角は∠\text{B'AP}=∠\text{B'AC}+∠\text{CAP}なので、(1),(2),(3)より
\begin{align*}∠\text{B'AP}&=∠\text{B'AC}+∠\text{ABC}\\[0.5em]&=∠\text{B'AC}+∠\text{AB'C}\\[0.5em]&=90°\end{align*}
となり、\text{AB'}\perp
\text{AP}が成り立つので、直線\text{AP}は円\text{O}の接線であることがわかります。
∠\text{ABC}が直角の場合
.png)
したがって、仮定の∠\text{CAP}=∠\text{ABC}より円\text{O}の直径\text{AC}と直線\text{AP}の間に\text{AC}\perp
\text{AP}が成り立つので、直線\text{AP}は円\text{O}の接線であることがわかります。
∠\text{ABC}が鈍角の場合
.png)
\begin{equation}∠\text{CAP}=∠\text{ABC}\end{equation}
△\text{ABC}の外接円\text{O}を描き、点\text{A}を端点とする円\text{O}の直径の他端を\text{B'}とします。
このとき、四角形\text{ABCB'}について円に内接する四角形の対角の和より
\begin{equation}∠\text{ABC}+∠\text{AB'C}=180°\end{equation}
タレスの定理より円\text{O}の直径\text{AB'}に対する円周角は∠\text{ACB'}=90°なので、△\text{AB'C}は直角三角形であることがわかります。
直角三角形の2つの鋭角の和は90°なので
\begin{align*}∠\text{AB'C}+∠\text{B'AC}&=90°\\[0.5em]\therefore∠\text{B'AC}&=90°-∠\text{AB'C}\tag6\end{align*}
ここで、直径\text{AB'}と直線\text{AP}のなす角は∠\text{B'AP}=∠\text{CAP}-∠\text{B'AC}なので、(4),(5),(6)より
\begin{align*}∠\text{B'AP}&=∠\text{ABC}-(90°-∠\text{AB'C})\\[0.5em]&=∠\text{ABC}+∠\text{AB'C}-90°\\[0.5em]&=180°-90°\\[0.5em]&=90°\end{align*}
となり、\text{AB'}\perp
\text{AP}が成り立つので、直線\text{AP}は円\text{O}の接線であることがわかります。
以上より、接弦定理の逆
△\text{ABC}とその外部の角∠\text{CAP}について、∠\text{CAP}=∠\text{ABC}が成り立つならば直線\text{AP}は△\text{ABC}の外接円の接線である。
が成り立つことがわかります。
Share:
