円周角∠ABC∠ABCの点AAを通る接線を引き、弦ACACと接線がつくる角∠CAT∠CATが△ABC△ABCの外側にあるように点TTをとると∠CAT=∠ABC∠CAT=∠ABCが成り立つ。
という定理です。
この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか？
接弦定理は以下のように書き換えることができます。
△ABC△ABCとその外部の角CATCATについて、直線ATATが△ABC△ABCの外接円の接線ならば∠CAT=∠ABC∠CAT=∠ABCが成り立つ。
すると、接弦定理の逆は以下のようになります。
△ABC△ABCとその外部の角CAPCAPについて、∠CAP=∠ABC∠CAP=∠ABCが成り立つならば直線APAPは△ABC△ABCの外接円の接線である。
これが正しいことを確かめます。
∠ABC∠ABCが鋭角の場合
∠CAP=∠ABC∠CAP=∠ABC(1)
△ABC△ABCの外接円OOを描き、点AAを端点とする円OOの直径の他端をB'B'とします。
△ABC△ABCの頂点BBを点B'B'へ移動させると、円周角の定理より
∠ABC=∠AB'C∠ABC=∠AB'C(2)
となります。
また、△AB'C△AB'Cは∠AB'C=90°∠AB'C=90°である直角三角形で、2つの鋭角の和は90°90°となるので
∠AB'C+∠B'AC=90°∠AB'C+∠B'AC=90°(3)
ここで円OOの直径AB'AB'と直線APAPのなす角は∠B'AP=∠B'AC+∠CAP∠B'AP=∠B'AC+∠CAPなので、(1),(2),(3)(1),(2),(3)より
∠B'AP=∠B'AC+∠ABC=∠B'AC+∠AB'C=90°∠B'AP=∠B'AC+∠ABC=∠B'AC+∠AB'C=90°
となり、AB'⊥APAB'⊥APが成り立つので、直線APAPは円OOの接線であることがわかります。
∠ABC∠ABCが直角の場合
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したがって、仮定の∠CAP=∠ABC∠CAP=∠ABCより円OOの直径ACACと直線APAPの間にAC⊥APAC⊥APが成り立つので、直線APAPは円OOの接線であることがわかります。
∠ABC∠ABCが鈍角の場合
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∠CAP=∠ABC∠CAP=∠ABC(4)
△ABC△ABCの外接円OOを描き、点AAを端点とする円OOの直径の他端をB'B'とします。
このとき、四角形ABCB'ABCB'について円に内接する四角形の対角の和より
∠ABC+∠AB'C=180°∠ABC+∠AB'C=180°(5)
タレスの定理より円OOの直径AB'AB'に対する円周角は∠ACB'=90°∠ACB'=90°なので、△AB'Cは直角三角形であることがわかります。
直角三角形の2つの鋭角の和は90°なので
∠AB'C+∠B'AC=90°∴∠B'AC=90°−∠AB'C
ここで、直径AB'と直線APのなす角は∠B'AP=∠CAP−∠B'ACなので、(4),(5),(6)より
∠B'AP=∠ABC−(90°−∠AB'C)=∠ABC+∠AB'C−90°=180°−90°=90°
となり、AB'⊥APが成り立つので、直線APは円Oの接線であることがわかります。
以上より、接弦定理の逆
△ABCとその外部の角∠CAPについて、∠CAP=∠ABCが成り立つならば直線APは△ABCの外接円の接線である。
が成り立つことがわかります。
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