「円周角$∠ABC$の点$A$を通る接線を引き、弦$AC$と接線がつくる角$∠CAT$の内部に$∠ABC$が入らないように点$T$をとると$∠CAT=∠ABC$が成り立つ。」
という定理です。
この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか？
接弦定理は以下のように書き換えることができます。
「$△ABC$とその外部の角$∠CAT$について、直線$AT$が$△ABC$の外接円の接線ならば$∠CAT=∠ABC$が成り立つ。」
すると、接弦定理の逆は以下のようになります。
「$△ABC$とその外部の角$∠CAP$について、$∠CAP=∠ABC$が成り立つならば直線$AP$は$△ABC$の外接円の接線である。」
これが正しいことを確かめます。
$∠ABC$が鋭角の場合
\begin{equation}∠CAP=∠ABC\end{equation}
$△ABC$の外接円$O$を描き、点$A$を端点とする円$O$の直径の他端を$B'$とします。
$△ABC$の頂点$B$を点$B'$へ移動させると、円周角の定理より
\begin{equation}∠ABC=∠AB'C\end{equation}
となります。
また、$△AB'C$は$∠AB'C=90°$である直角三角形で、2つの鋭角の和は$90°$となるので
\begin{equation}∠AB'C+∠B'AC=90°\end{equation}
ここで円$O$の直径$AB'$と直線$AP$のなす角は$∠B'AP=∠B'AC+∠CAP$なので、$(1),(2),(3)$より
\begin{align*}∠B'AP&=∠B'AC+∠ABC\\[0.5em]&=∠B'AC+∠AB'C\\[0.5em]&=90°\end{align*}
となり、$AB'\perp
AP$が成り立つので、直線$AP$は円$O$の接線であることがわかります。
$∠ABC$が直角の場合
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したがって、仮定の$∠CAP=∠ABC$より円$O$の直径$AC$と直線$AP$の間に$AC\perp
AP$が成り立つので、直線$AP$は円$O$の接線であることがわかります。
$∠ABC$が鈍角の場合
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\begin{equation}∠CAP=∠ABC\end{equation}
$△ABC$の外接円$O$を描き、点$A$を端点とする円$O$の直径の他端を$B'$とします。
このとき、四角形$ABCB'$について円に内接する四角形の対角の和より
\begin{equation}∠ABC+∠AB'C=180°\end{equation}
タレスの定理より円$O$の直径$AB'$に対する円周角は$∠ACB'=90°$なので、$△AB'C$は直角三角形であることがわかります。
直角三角形の2つの鋭角の和は$90°$なので
\begin{align*}∠AB'C+∠B'AC&=90°\\[0.5em]\therefore∠B'AC&=90°-∠AB'C\tag6\end{align*}
ここで、直径$AB'$と直線$AP$のなす角は$∠B'AP=∠CAP-∠B'AC$なので、$(4),(5),(6)$より
\begin{align*}∠B'AP&=∠ABC-(90°-∠AB'C)\\[0.5em]&=∠ABC+∠AB'C-90°\\[0.5em]&=180°-90°\\[0.5em]&=90°\end{align*}
となり、$AB'\perp
AP$が成り立つので、直線$AP$は円$O$の接線であることがわかります。
以上より、接弦定理の逆
「$△ABC$とその外部の角$∠CAP$について、$∠CAP=∠ABC$が成り立つならば直線$AP$は$△ABC$の外接円の接線である。」
が成り立つことがわかります。
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