2直線がつくる角の二等分線と2直線を接線とする円の中心

　2直線$l,m$が1点で交わっているとき、$l,m$がつくる角の二等分線上の交点以外の点は$l,m$を接線とする円の中心となります。
このことを確かめてみます。

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接弦定理の逆は成り立つ？

　接弦定理とは、

円周角$∠\text{ABC}$の点$\text{A}$を通る接線を引き、弦$\text{AC}$と接線がつくる角$∠\text{CAT}$が$△\text{ABC}$の外側にあるように点$\text{T}$をとると$∠\text{CAT}=∠\text{ABC}$が成り立つ。

という定理です。

この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか？

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2円の異なる2つの交点を通る直線と2つの中心を通る直線の関係

　2つの円の異なる2つの交点を通る直線は、2つの円の中心を通る直線に対し垂直になります。

なぜこのようなことが言えるのでしょうか？

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放物線の接線の方程式

　主軸がx軸の放物線$4ax=y^2$上の点$(p,q)$における接線の方程式は

\[\large 2a(x+p)=qy\]

で表されます。

なぜ、このような式で表されるのでしょうか？

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双曲線の接線の方程式

　双曲線$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は

\[\large\frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1\]

となります。

なぜ、このような式で表されるのでしょうか？

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楕円の接線の方程式

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は

\[\large\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]

となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか？

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2次関数の異なる2接線の交点の座標を求める

「2次関数$y=x^2+4x+7$の$x=-5$と$x=2$における接線の交点の座標を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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円の接線の方程式の公式

　円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の円周上の点$(p,q)$を通る接線の方程式は

\[\large(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2\]

となります。

なぜこれが円の接線の方程式となるのでしょうか？

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円の方程式を接線の方程式の公式を利用して求める

「直線$l:2x-y=10$を接線とし点$(1,2)$を中心とする円の方程式を求めよ。」

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6つの三角関数を単位円上に表すと？

　三角関数の$\sinθ,\cosθ,\tanθ$は単位円上で表すと以下のようになります。

半径1の単位円の円周とx軸と角度$θ$で交わる原点を通る直線$l$との交点のx座標が$\cosθ$、y座標が$\sinθ$、直線$l$と直線$x=1$との交点のy座標が$\tanθ$となります。

では、あと3つの三角関数$\cscθ,\secθ,\cotθ$は単位円上ではどこに現れるのでしょうか？

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The two tangent theorem（2接線の定理）

　The two tangent theorem（2接線の定理）とは、円$\text{O}$の外にある点$\text{P}$を通る円$\text{O}$の2接線$\text{PA, PB}$（点$\text{A, B}$は円$\text{O}$の接点）の間に

\[\large \text{PA}=\text{PB}\]

という関係があることを表す定理です。

　これが成立することを確かめてみます。

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2本の直線に挟まれた隣接する円の半径

図1　共通接線をもつ隣接する円

「60°の角度で交わる2本の直線を接線とする半径1の円$O_1$がある。また、2直線を共通の接線とし円$O_1$に接する円$O_2$、同じく2直線を共通の接線とし円$O_2$に接する円$O_3$…と図1のようにいくつもの円が並んでいる。このとき、

(1) 5番目の円$O_5$の半径を答えよ。

(2) $O_6$から$O_{10}$までの半径の和を答えよ。」

　このような問題はどのように考えればよいでしょうか？

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接線と弦のつくる角（接弦定理）

　円周上の点$\text{A}$を通る接線を引き、接線と弦$\text{AC}$のつくる角の内部に弧$\text{AC}$に対する円周角$∠\text{ABC}$が入らないように接線上に点$\text{T}$をとると

\[∠\text{CAT}=∠\text{ABC}\]

という関係が成り立ちます。この関係は接弦定理と呼ばれます。

本当に接弦定理は成り立つのでしょうか？確かめてみます。

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直交する直線に接する2つの円とその半径

図1　直交する直線と2つの円

「直交する2本の直線を接線とする円が２つあり、円どうしは交わらず接している。小さい方の円の半径が1であるとき、大きい方の円の半径$x$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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