円(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2の円周上の点(p,q)(p,q)を通る接線の方程式は
(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2
となります。
なぜこれが円の接線の方程式となるのでしょうか？
y−q=t(x−p)y−q=t(x−p)(i)
円の中心(a,b)(a,b)と(p,q)(p,q)を通る直線の方程式は
y−q=q−bp−a(x−p)y−q=q−bp−a(x−p)(ii)
となります。
ここで、(i)(i)と(ii)(ii)は互いに垂直なので
t⋅q−bp−a=−1t⋅q−bp−a=−1
となるからttは
t=−p−aq−bt=−p−aq−b
です。これを(i)(i)に代入すると
y−q=−p−aq−b(x−p)(q−b)(y−q)=−(p−a)(x−p)(p−a)(x−p)+(q−b)(y−q)=0y−q=−p−aq−b(x−p)(q−b)(y−q)=−(p−a)(x−p)(p−a)(x−p)+(q−b)(y−q)=0
これを変形して
(p−a){x−p+(p−a)−(p−a)}+(q−b){y−q+(q−b)−(q−b)}=0(p−a){(x−a)−(p−a)}+(q−b){(y−b)−(q−b)}=0(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=(p−a)2+(q−b)2(p−a){x−p+(p−a)−(p−a)}+(q−b){y−q+(q−b)−(q−b)}=0(p−a){(x−a)−(p−a)}+(q−b){(y−b)−(q−b)}=0(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=(p−a)2+(q−b)2
ここで円の中心(a,b)(a,b)と(p,q)(p,q)の距離、すなわち半径rrは
r=√(p−a)2+(q−b)2r2=(p−a)2+(q−b)2r=√(p−a)2+(q−b)2r2=(p−a)2+(q−b)2
であるから、円(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2の円周上の点(p,q)(p,q)を通る接線の方程式は
(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2
となることがわかります。
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