「直線$l:2x-y=10$を接線とし点$(1,2)$を中心とする円の方程式を求めよ。」
中心の座標がわかっているので半径を$r$とおくと
\[(x-1)^2+(y-2)^2=r^2\]
となり、点と直線の距離の公式(点$(p,q)$と直線$ax+by+c=0$の距離)
\[\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
より中心と接線の距離、すなわち半径は
\[r=\frac{|2\cdot1-1\cdot2-10|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=2\sqrt{5}\]
なので、
\[(x-1)^2+(y-2)^2=20\]
・接点$(p,q)$を通る円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の接線の方程式の公式
\[(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2\]
関連:円の接線の方程式の公式
円の中心の座標がわかっているので半径を$r$とおくと
\[(x-1)^2+(y-2)^2=r^2\]
直線$l$上の点$(p,q)$を接点とするとき、円の接線の方程式は
\begin{align*}(p-1)(x-1)+(q-2)(y-2)&=r^2\\ \\ (p-1)x+(q-2)y&=r^2+(p-1)+2(q-2)\\ \\ (p-1)x+(q-2)y&=r^2+p+2q-5&\cdots(a)\end{align*}
(a)が直線$l$と一致すれば良いので係数を比較するのですが、ここで直線$l$の両辺を実数$k$倍して
\[2kx-ky=10k\qquad\cdots(b)\]
(a)と(b)の係数を比較すると
\[\left\{\begin{align*}p-1&=2k&\cdots(c)\\ \\ q-2&=-k&\cdots(d)\\ \\ r^2+p+2q-5&=10k&\cdots(e)\end{align*}\right.\]
となります。