重複のある文字の並べ方は何通り？

「”$\text{coffee}$”の6文字を並べ替えてできる文字列はいくつあるか？」

　まずは簡単な例として”$\text{ABB}$”の3文字を並び替えてできる文字列について考えます。

”$\text{B}$”が重複して2つあるので”$\text{B}_1,\text{B}_2$”と見分けがつくようにして、並び替えてできる文字列を樹形図をもちいてすべて挙げてみると次のようになります。

並び替えてできる文字列は$3!=6$個で、その中には”$\text{A}$”の場所が同じで”$\text{B}_1,\text{B}_2$”の場所だけ違う文字列があります。上図では”$\text{A}$”の場所が同じ文字列に同じ色の下線をつけています。

しかし、実際には重複する文字に番号が振られているわけではないので、どちらが”$\text{B}_1,\text{B}_2$”かという区別はつけられません。なので、同じ並びの文字列（同じ色の下線がついている文字列）は1つだけ残して他を取り除く必要があります。

ここで、同じ並びの文字列はいくつできるのかについて考えると、重複していない文字が同じ場所にあっても重複している文字を並べ替えた分だけ同じ並びの文字列ができるので、重複している文字の並べ方だけあることがわかります。
例の場合は”$\text{B}$”が2つあるから並べ方は$2!=2$通りなので、重複している文字によって文字の並べ方は実際より$2!$倍になります。

したがって、"$\text{ABB}$”を並べ替えてできる文字列の数は

\[\frac{3!}{2!}=3\]

となります。

　以上のことから、重複のある文字の並べ方はすべての文字が区別できるとして考えたときの文字の並べ方から重複している文字の並べ方を割れば良いことがわかります。

　問題の場合、文字の種類と数に着目すると4種類の文字が以下の内訳で使用されています。

• ”$\text{c,o}$”：1個
• ”$\text{e,f}$”：2個

このことから$\text{coffee}$の6文字の並べ方は$6!$通りあり、これは重複している文字”$\text{e}$”によって$2!$倍、さらに”$\text{f}$”によって$2!$倍実際より増えているから、これらを割れば本来の並べ替えてできる文字列の数がわかるので、並び替えてできる文字列の数は

\[\frac{6!}{2!2!}=\frac{6!}{4}=180\]

となります。