不等号が2つある2次不等式を解く ~ 数学について考えてみる

2022年5月7日

不等号が2つある2次不等式を解く

PLUMBAGO

$\Large -8\leqq x^2+6x\leqq16$

「上の不等式を解け。」

　この不等式は $-8\leqq x^2+6x$ かつ $x^2+6x\leqq16$ というように書くことができるので、
$\left\{\begin{aligned}&-8\leqq x^2+6x&\cdots(1)\\ &x^2+6x\leqq16&\cdots(2)\end{aligned}\right.$
という連立不等式にして解きます。

(1) $-8\leqq x^2+6x$

$\begin{align*}x^2+6x&\geqq-8\\ \\ x^2+6x+8&\geqq0\\ \\ (x+2)(x+4)&\geqq0\end{align*}$

(x+4)(x+2)≧0

(1)はさらに

y = (x + 2) (x + 4)

$y=(x+2)(x+4)$ かつ

y ≧ 0

$y\geqq0$ と書けます。

これを満たすのは上のグラフの赤線部分でこれが存在する

x

$x$ の範囲

x ≦ - 4, - 2 ≦ x \dots (3)

$x\leqq-4,-2\leqq x\qquad\cdots(3)$

が(1)の解となります。

(2) $x^2+6x\leqq16$

$\begin{align*}x^2+6x-16&\leqq0\\ \\ (x+8)(x-2)&\leqq0\end{align*}$

(x+8)(x-2)≦0

(2)はさらに

y = x^{2} + 6 x - 16

$y=x^2+6x-16$ かつ

y ≦ 0

$y\leqq0$ と書けます。

これを満たすのは上のグラフは赤線部分で、これが存在する

x

$x$ の範囲

- 8 ≦ x ≦ 2 \dots (4)

$-8\leqq x\leqq2\qquad\cdots(4)$

が(2)の解となります。

　不等式の解は(3)、(4)をともに満たす

x

$x$ の範囲なので

紫で示した部分の

- 8 ≦ x ≦ - 4, - 2 ≦ x ≦ 2

$-8\leqq x\leqq-4,-2\leqq x\leqq2$ となります。

関連：2次不等式を解く(2)

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