絶対値が2つある方程式を解く

\[\Large|x+2|=|2x-5|\]
「次の方程式を解け。」

このような問題はどのようにして解けばよいでしょうか？

　この方程式を解くには絶対値を外さなければなりませんが、絶対値を外したときの結果がどうなるのかがわかりません。なので、まずは絶対値を外したときの結果が変わる$x$の値を調べる必要があります。

絶対値の外し方が変わる$x$の範囲を求める

絶対値は$|x|$の場合

\begin{align*}x<0&のとき\\ |x|&=-x\\[1em]x\geqq0&のとき\\ |x|&=x\end{align*}

のように$x$の範囲で絶対値を外したときの結果が変わります。これを数直線で表すと

のようになります。

　このように絶対値を含む式は絶対値を外したときの結果が変わる$x$の値の範囲が重要になります。
なので問題の方程式に対応した絶対値を外したときの結果が変わる$x$の値の範囲を表す数直線をつくってみます。
そのためには

• それぞれの絶対値が$0$になる条件を調べる。
• それを数直線上に描く。
• 上図のように絶対値の計算結果が変わる$x$の範囲を考える。

という手順で行います。

1. 絶対値が$0$になる条件を調べる

　それぞれの絶対値が$0$になる$x$の値は

\begin{align*}|x+2|=0\\[0.5em]x+2&=0\\[0.5em]x&=-2\\[1em]|2x-5|=0\\[0.5em]2x-5&=0\\[0.5em]2x&=5\\[0.5em]x&=\frac{5}{2}\end{align*}

となります。

2. 数直線上に描く

　絶対値が$0$になる$x$の値を数直線上に描きます。

すると上のようになります。

3. 絶対値の計算結果が変わる$x$の範囲を考える

　それぞれの絶対値の計算結果が変わる$x$の範囲を考えると以下のようになります。

$\text{(a),(b)}$は$|x+2|$の絶対値を外したときの結果が変わる$x$の範囲、$\text{(c),(d)}$は$|2x-5|$の絶対値を外したときの結果が変わる$x$の範囲です。

この範囲から2つの絶対値の計算結果の組み合わせと$x$の範囲は以下のようになります。

$\text{(a)}+\text{(c)}$：$x<-2$のとき

\[|x+2|=-(x+2),\ |2x-5|=-(2x-5)\]

$\text{(b)}+\text{(c)}$：$-2\leqq x<\dfrac{5}{2}$

\[|x+2|=x+2,\ |2x-5|=-(2x-5)\]

$\text{(b)}+\text{(d)}$：$x\geqq\dfrac{5}{2}$

\[|x+2|=x+2,\ |2x-5|=2x-5\]

これらをもとにして方程式を解きます。

$x$の範囲で場合分け

$x<-2$のとき

\begin{align*}-(x+2)&=-(2x-5)\\[0.5em]x+2&=2x-5\\[0.5em]x&=7\end{align*}

$x$の範囲外なので解として不適です。

$-2\leqq x<\tfrac{5}{2}$のとき

\begin{align*}x+2&=-(2x-5)\\[0.5em]x+2&=-2x+5\\[0.5em]3x&=3\\[0.5em]x&=1\end{align*}

これは$x$の範囲内にあります。

$x\geqq\tfrac{3}{2}$のとき

\begin{align*}x+2&=2x-5\\[0.5em]x&=7\end{align*}

これは$x$の範囲内にあります。

以上より解は$x=1,7$となります。