負の数の整数乗には、以下のような性質があります。
これらが成り立つことを確かめます。
正の数$a$と整数$n$について
\begin{align*}&\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\\[1em]&\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\end{align*}
正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について
\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず
\[\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1\]
正の数$a$と$m<n$である偶数$m, n$について
\begin{cases}(-a)^m>(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m<(-a)^n&(1<a)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と偶数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず
\[(-a)^m=(-a)^n=1\]
正の数$a$と偶数$m$、奇数$n$について
\[(-a)^m>(-a)^n\]
正の数$a$と$m<n$である奇数$m, n$について
\begin{cases}(-a)^m<(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m>(-a)^n&(1<a)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と奇数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず
\[(-a)^m=(-a)^n=-1\]
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