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2022年4月9日

絶対値が2つある1次関数

f(x)=|x+3||x2|f(x)=|x+3||x2|であるとき、xxによってf(x)f(x)はどのように変化するか?」

 このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


 f(x)f(x)を求めるにはまずは絶対値を外したときの結果が変わるxxの値を調べる必要があります。
絶対値は|x||x|の場合
x<0|x|=xx0|x|=xx<0|x|=xx0|x|=x
のようにxxの範囲で絶対値を外したときの結果が変わります。これを数直線で表すと
|x|
のようになります。
このように絶対値を含む式は絶対値を外したときの結果が変わるxxの値の範囲が重要になります。
なのでf(x)f(x)に対応した絶対値を外したときの結果が変わるxxの値の範囲を表す数直線をつくってみます。
そのためには
  • それぞれの絶対値が00になる条件を調べる。
  • それを数直線上に描く。
  • 上図のように絶対値の計算結果が変わるxxの範囲を考える。
という手順で行います。

1. 00になる条件を調べる

 それぞれの絶対値が00になるxxの値を調べます。
絶対値が00になるためには、絶対値の中身が00になれば良いので
|x+3|=0x+3=0x=3|x2|=0x2=0x=2|x+3|=0x+3=0x=3|x2|=0x2=0x=2
となります。

2. 絶対値が00になるxxを数直線に描く

 1.で求めたxxを数直線上に描きます。
|x+3|=0と|x-2|=0
すると上のようになります。

3. 絶対値の計算結果が変わるxxの範囲を考える

 それぞれの絶対値を外したときの結果が変わるxxの範囲からf(x)f(x)の計算結果が変わるxxの範囲を考えます。
|x+3|と|x-2|
|x+3||x+3|の計算結果が変わるxxの範囲は上図の(a),(b)(a),(b)|x2||x2|の計算結果が変わるxxの範囲は(c),(d)(c),(d)です。
この2つのxxの範囲を見て、例えばx=3x=3より小さいx=4x=4からxxの値を大きくしていったとき|x+3||x+3||x2||x2|の計算結果の組み合わせは

x<3x<3のとき

|x+3|=(x+3), |x2|=(x+2)|x+3|=(x+3), |x2|=(x+2)

3x<23x<2のとき

|x+3|=x+3, |x2|=(x2)|x+3|=x+3, |x2|=(x2)

x2x2のとき

|x+3|=x+3, |x2|=x2|x+3|=x+3, |x2|=x2
の3つです。
これらの範囲を数直線で表すと上図の一番下のようになります。

 以上よりf(x)f(x)におけるxxの範囲と絶対値を外したときの結果の組み合わせがどうなるかがわかったので、そのxxの範囲ごとにf(x)f(x)がどうなるのかを計算します。

x<3x<3のとき

f(x)=(x+3)(x2)=x3+x2=5f(x)=(x+3)(x2)=x3+x2=5

3x<23x<2のとき

f(x)=(x+3)(x2)=x+3+x2=2x+1f(x)=(x+3)(x2)=x+3+x2=2x+1

x2x2のとき

f(x)=(x+3)(x2)=5f(x)=(x+3)(x2)=5

これをまとめると
  1. x<3x<3またはx=3x=3、すなわちx3x3のときf(x)=5f(x)=5
  2. 3<x<23<x<2のときf(x)=2x+1f(x)=2x+1
  3. x=2x=2またはx>2x>2、すなわちx2x2のときf(x)=5f(x)=5
となります。
y=|x+3|-|x-2|
y=f(x)y=f(x)のグラフを描くと上図のようになります。

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