等式の性質（方程式変形のための4つの基本操作）

　等式の性質は、方程式を変形する基本的な操作としてもちいられます。
基本操作には4つあり、

等式$a=b$に対し、

• 両辺に同じ数を足す
  \[\large a+c=b+c\]
• 両辺から同じ数を引く
  \[\large a-c=b-c\]
• 両辺に同じ数を掛ける
  \[\large a\times c=b\times c\]
• 両辺を同じ数で割る
  \[\large a\div c=b\div c\quad(ただし、c\neq0)\]

です。

　等式とは、等号”$=$”で数や式を結んだ式のことで、”$=$”の左右にあるものが同じ、等しいことを表します。
例えば、等式$a=b$は、$a$と$b$は等しい、同じ数であることを表します。

”$=$”で結ばれている数や式のことを辺といい、左側の辺を左辺、右側の辺を右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。

そして、方程式とは、文字（変数）を含む等式のことです。
したがって、先ほどの$a=b$の$a, b$を変数とみれば、これは方程式となります。

　等号で結ばれた数や式は同じ数を表すと上で説明しましたが、同じ数ならば同じ操作によって同じ結果を得ます。これが等式の性質です。
4つの基本操作はこの性質に基づいています。

両辺に同じ数を足す

　等式$a=b$において、$a$と$b$が同じ数であるならば、それぞれに$c$を加えた数（和）、すなわち$a+c$と$b+c$も同じ数となります。

したがって、等式$a=b$が成り立つとき

\[\large a+c=b+c\]

も成り立ちます。

例：

　等式$2+3=5$の両辺に$2$を足すと

\begin{align*}2+3\textcolor{red}{+2}&=5\textcolor{red}{+2}\\[1em](左辺)&=2+3+2=7\\[0.5em](右辺)&=5+2=7\end{align*}

両辺から同じ数を引く

　等式$a=b$において、$a$と$b$が同じ数であるならば、それぞれから$c$を引いた数（差）、すなわち$a-c$と$b-c$も同じ数となります。

したがって、等式$a=b$が成り立つとき

\[\large a-c=b-c\]

が成り立ちます。

例：

　等式$10-4=6$の両辺から$5$を引くと

\begin{align*}10-4\textcolor{red}{-5}&=6\textcolor{red}{-5}\\[1em](左辺)&=10-4-5=1\\[0.5em](右辺)&=6-5=1\end{align*}

　等式$a-b=c$について、両辺に$b$を足すと

\begin{align*}a\textcolor{blue}{-b}&=c\tag1\\[0.5em]a\textcolor{blue}{-b}\textcolor{red}{+b}&=c\textcolor{red}{+b}\\[0.5em]a&=c\textcolor{red}{+b}\tag2\end{align*}

となり、$(1)$から$(2)$への変形は項$b$が符号を変えてもう一方の辺に移動したように見えます。

また、等式$a+b=c$について、両辺から$b$を引くと

\begin{align*}a\textcolor{blue}{+b}&=c\tag3\\[0.5em]a\textcolor{blue}{+b}\textcolor{red}{-b}&=c\textcolor{red}{-b}\\[0.5em]a&=c\textcolor{red}{-b}\tag4\end{align*}

となり、$(3)$から$(4)$への変形も項$b$が符号を変えてもう一方の辺に移動したように見えます。

このように、両辺に同じ数を足す、両辺から同じ数を引くことで一方の辺にある項を符号を変えてもう一方の辺へ移す操作のことを移項といいます。

両辺に同じ数を掛ける

　等式$a=b$において、$a$と$b$が同じ数であるならば、それぞれに$c$を掛けた数（積）、すなわち$a×c$と$b×c$もまた同じ数となります。

したがって、等式$a=b$が成り立つとき

\[\large a\times c=b\times c\]

も成り立ちます。

例：

　等式$2+3=5$の両辺に$7$を掛けると（これは、それぞれの辺全体に掛けるということです。）

\begin{align*}(2+3)\textcolor{red}{\times7}&=5\textcolor{red}{\times7}\\[1em](左辺)&=5\times7=35\\[0.5em](右辺)&=35\end{align*}

ただし、両辺に$0$を掛けること自体はできますが通常はしません。
なぜなら、どんな等式であっても両辺に$0$を掛ければ$0=0$になり、元の等式が表していた内容をすべて消してしまうからです。
これでは、解や性質など元の等式について知りたいことが分からなくなってしまうので、両辺に$0$を掛けることはありません。

両辺を同じ数で割る

　等式$a=b$において、$a$と$b$が同じ数であるならば、それぞれを$c$で割った数（商）、すなわち$a÷c$と$b÷c$も同じ数となります。

したがって、等式$a=b$が成り立つとき

\[\large a\div c=b\div c\quad(ただし、c\neq0)\]

も成り立ちます。

例：

　等式$10-4=6$の両辺を$3$で割ると（これは、それぞれの辺全体を割るということです。）

\begin{align*}(10-4)\textcolor{red}{\div3}&=6\textcolor{red}{\div3}\\[1em](左辺)&=6\div3=2\\[0.5em](右辺)&=2\end{align*}

ただし、両辺を$0$で割ることはできません。
なぜなら、$0$で割ることは定義されておらず、計算ができないからです。

関連：なぜ0で割ってはいけないのかを引き算で考える

　これら4つの等式の性質を利用した方程式の基本操作は、方程式変形に欠かせません。
方程式を解くこともその中の1つです。

方程式の文字に代入する値には、方程式を正しい等式にできるものとそうでないものがあります。
方程式の文字に代入して、正しい等式にできる値のことを方程式の解、これを求めることを方程式を解くといいます。
特に、1次方程式はこれら4つの基本操作のみで解くことができます。

例として、1次方程式$\dfrac{2x-3}{5}+4=7$を解いてみます。

両辺から$4$を引くと

\begin{align*}\frac{2x-3}{5}+4\textcolor{red}{-4}&=7\textcolor{red}{-4}\\[0.5em]\frac{2x-3}{5}&=3\end{align*}

両辺に$5$を掛けると

\begin{align*}\frac{2x-3}{5}\textcolor{red}{\times5}&=3\textcolor{red}{\times5}\\[0.5em]2x-3&=15\end{align*}

両辺に$3$を足すと

\begin{align*}2x-3\textcolor{red}{+3}&=15\textcolor{red}{+3}\\[0.5em]2x&=18\end{align*}

両辺を$2$で割ると

\begin{align*}2x\textcolor{red}{\div2}&=18\textcolor{red}{\div2}\\[0.5em]x&=9\end{align*}

したがって、1次方程式$\dfrac{2x-3}{5}+4=7$の解は$x=9$であることがわかります。

(2026/6)内容を変更しました。

関連：1次方程式を解く（方程式とは？、1次方程式とは？）