方程式を解く4つの基本操作

　方程式を解くために使用する基本的な方法にはどのようなものがあるでしょうか？

方程式を解くとは、文字を含む等式に対し様々な操作を行い（文字）=（値）の形で方程式が成り立つような値を示すことです。

方程式、特に1次方程式を解く際に行う基本的な操作は四則演算（足す、引く、掛ける、割る）です。

足す

　方程式の前に簡単な等式で例を出します。
\[2+3=5\]
等号”=”で結ばれた式の前後は同じ値になります。すなわち、$2+3$も$5$も同じ$5$という値を持つため"="を使って結ぶことができます。

ここで、”=”の左（以下左辺）と右（以下右辺）に$2$を足します。

\[2+3\underline{+2}=5\underline{+2}\]

このとき$2+3+2$も$5+2$も$7$という値を持つため”=”で結ばれたままで良いことがわかります。

したがって、左辺と右辺の両方（以下両辺）に同じ数を足しても両辺が等しいという状態は保ったままなので、方程式においてこれを利用して

\begin{align*}x-2&=4\\[0.5em]x-2\underline{+2}&=4\underline{+2}\\[0.5em]x&=6\end{align*}

のように解くことができます。
また、変数も同様に両辺に足すことができ、

\begin{align*}-2x&=-3x-5\\[0.5em]-2x\underline{+3x}&=-3x-5\underline{+3x}\\[0.5em]x&=-5\end{align*}

とすることができます。

引く

\[2+3=5\]

の両辺から4を引きます。

\[2+3\underline{-4}=5\underline{-4}\]

このとき$2+3-4$も$5-4$も$1$という値を持つため等式は成り立ちます。

また、足すの方で加えた$2$も$2=-(-2)$であることを考えれば

\[2+3\underline{-(-2)}=5\underline{-(-2)}\]

と引き算で考えることができ、前述の通り等式は成り立つことがわかります。

これを方程式で利用すれば

\begin{align*}x+6&=9\\ \\ x+6\underline{-6}&=9\underline{-6}\\[0.5em]x&=3\end{align*}

のように解くことができます。
また、変数も同様に引くことができ、

\begin{align*}5x&=4x+2\\[0.5em]5x\underline{-4x}&=4x+2\underline{-4x}\\ [0.5em]x&=2\end{align*}

とすることができます。

両辺に同じ数を足したり引いたりして項を消すと

\begin{align*}a\underline{+b}&=c\tag{*}\\[0.5em]a+b-b&=c-b\\[0.5em]a&=c\underline{-b}\tag{**}\end{align*}

のように足し引きする前$(*)$と後$(**)$で符号が正負逆になってもう一方の辺に項が移動したように見えるので、この操作を移項と呼びます。

また、両辺に同じ数を足したり引いたりすることを

\[\left\{\begin{aligned}2+3&=5\\[0.5em]2&=2\end{aligned}\right.\]

という2つの等式の左辺同士、右辺同士でそれぞれ足したり引いたりしていると考えると、連立方程式を解く際の加減法の考え方となります。

この左辺同士、右辺同士で足したり引いたりすることを辺々を加える（引く）と言います。同様に掛けたり割ったりすることもあります。

掛ける

\[2+3=5\]
の両辺に$2$を掛けます。
\[(2+3)\underline{×2}&=5\underline{×2}\]
掛けるときは左辺のようにカッコでくくるか項ごとに同じ数を掛けてください。
このとき$(2+3)×2$も$5×2$も$10$という値を持つため等式は成り立つことがわかります。

これを方程式で利用すれば

\begin{align*}\frac{1}{2}x&=3\\[0.5em]\frac{1}{2}\underline{×2}&=3\underline{×2}\\[0.5em]x&=6\end{align*}

のように解くことができます。

また、変数でも同様に

\begin{align*}1&=\frac{3}{x}\\[0.5em]1\underline{×x}&=\frac{3}{x}1\underline{×x}\\[0.5em]x&=3\end{align*}

とすることができます。

左辺に左辺を、右辺に右辺を掛けることもできます。

\begin{align*}(2+3)\underline{(2+3)}&=5\underline{×5}\\[0.5em](2+3)^2&=5^2\end{align*}

これは両辺を2乗するといいます。べき乗も可能です。

割る

\[2+3=5\]
の両辺を$3$で割ります。
\begin{align*}(2+3)\underline{÷3}&=5\underline{÷3}\\[0.5em]\frac{2+3}{3}&=\frac{5}{3}\end{align*}
このとき$\dfrac{2+3}{3}$も$\dfrac{5}{3}$も$\dfrac{5}{3}$という値を持つため等式は成り立つことがわかります。

これを方程式で利用すれば

\begin{align*}2x&=6\\[0.5em]2x\underline{÷2}&=6\underline{÷2}\\[0.5em]x&=3\end{align*}

のように解くことができます。

また、変数でも同様に

\begin{align*}x^2&=2x\\[0.5em]x^2\underline{÷x}&=2x\underline{÷x}\\[0.5em]x&=2\end{align*}

とすることができますが、0で割ってはいけないという制約があるため$x\neq0$を付け加えなければなりません。

また、方程式を解く際に変数で割るという操作はしません。上記の制約のため値が$0$となるような解は除外されてしまい、すべての解が得られなくなってしまうからです。（例えば上の方程式の例だと$x=0$も解になりますが、$x=2$しか求められていません。）