1次方程式を解く（方程式とは？、1次方程式とは？）

方程式とは？

　数または数式を等号（$=$）で結んだ

\[2+3=5\]

というようなを等式といいます。
上の等式の場合、$2+3$と$5$が等しいことを意味します。

$=$で結ばれている数や数式のことを辺といい、左側にあるものを左辺、右側にあるものを右辺、左辺と右辺を合わせて両辺といいます。

　等式のうち、

\[2a=3b\]

のように文字を含むものを方程式といいます。

文字に様々な値を代入してみると方程式は間違った等式になったり、正しい等式になったりします。そのうち、方程式が正しい等式になることを方程式が成り立つといいます。

方程式に含まれる文字を未知数（変数）として、文字に代入すると方程式が成り立つような値や値の組を求めることを方程式を解くといい、求まった値や値の組のことを解といいます。

1次方程式とは？

　未知数となる文字の次数の最大値が$1$である方程式のことを1次方程式といいます。
例えば、

\begin{align*}2a&=3\\[1em]5&=3b+8\\[1em]\frac{1}{3}c-1&=\frac{2}{3}c\end{align*}

のように、一方の辺の次数が$1$でもう一方の辺の次数が$0$であったり、両辺の次数がともに$1$である方程式が1次方程式となります。

1次方程式を解く

　1次方程式

\[x=3\]

について考えてみます。

この1次方程式が成り立つときというのは、これ自身が表す$x$が$3$に等しいときしかありません。

したがって、この1次方程式は解が自明であると同時にこれ自体が解となります。
1次方程式を解くとき、これと同じ（文字）=（数字）の形を目指します。

　大抵の1次方程式は文字に何らかの数が加えられていたり、引かれていたり、掛けられていたり、割られたりしている1次式となっています。
文字に対して行われたこのような計算は、足し算と引き算、掛け算と割り算が互いに逆の計算であることを利用して打ち消すことができます。

また、1次式と等号で結ばれたもう一方の辺の数に対し同じように逆の計算を行っていけば、最終的にその文字に等しい数が現れます。

例えば、上記の1次方程式

\[2a=3\]

の場合、左辺は$a$に$2$を掛けたものになっています。

なので、$2$を掛けるという計算を打ち消すために$2$で割ります。

\begin{align*}(左辺)\div2&=2a\div2\\[0.5em]&=a\end{align*}

また、右辺も$2$で割ってみます。

\[(右辺)\div2=\frac{3}{2}\]

ここで、左辺の$2a$と右辺の$3$は等しいので、それぞれを$2$で割っても等しいままのはずです。

したがって、

\begin{align*}(左辺)\div2&=(右辺)\div2\\[0.5em]\therefore a&=\frac{3}{2}\end{align*}

が成り立ち、1次方程式$2a=3$の解が$a=\dfrac{3}{2}$であるとわかります。

実際に左辺の$2a$に$a=\dfrac{3}{2}$を代入してみると

\begin{align*}(左辺)&=2\times\frac{3}{2}\\[0.5em]&=3\end{align*}

と右辺の$3$になる、すなわち1次方程式が成り立っていることがわかります。

このようにすることで1次方程式を解くことができるのですが、この1次方程式を解くときに利用するのが方程式変形のための4つの基本操作

• 両辺に同じ数を足す
• 両辺から同じ数を引く
• 両辺に同じ数を掛ける
• 両辺を同じ数で割る

となります。

関連：方程式変形のための4つの基本操作（両辺に足す、両辺から引く、両辺に掛ける、両辺を割る）

　上記の他の1次方程式も解いてみます。

$5=3b+8$

　両辺から$5$を引くと

\begin{align*}5-5&=3b+8-5\\[0.5em]0&=3b+3\end{align*}

さらに、両辺から$3b$を引くと

\begin{align*}0-3b&=3b+3-3b\\[0.5em]-3b&=3\end{align*}

両辺を$-3$で割ると

\begin{align*}-3b\div(-3)&=3\div(-3)\\[0.5em]b&=-1\end{align*}

となり、解は$b=-1$であるとわかります。

　また、他の方法として

右辺と左辺を入れ替えても両者が等しいことは変わらないので

\[3b+8=5\]

両辺から$8$を引くと

\[3b=-3\]

両辺を$3$で割ると

\[b=-1\]

のように解を求めることもできます。

$\dfrac{1}{3}c-1=\dfrac{2}{3}c$

　両辺から$\dfrac{2}{3}c$を引くと

\begin{align*}\frac{1}{3}c-1-\frac{2}{3}c&=\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}\\[0.5em]-\frac{1}{3}c-1&=0\end{align*}

両辺に$1$を足すと

\begin{align*}-\frac{1}{3}c-1+1&=0+1\\[0.5em]-\frac{1}{3}c&=1\end{align*}

両辺に$-3$を掛けると

\begin{align*}-\frac{1}{3}c\times(-3)&=1\times(-3)\\[0.5em]c&=-3\end{align*}

となり、解は$c=-3$であることがわかります。

関連：方程式変形のための4つの基本操作（両辺に足す、両辺から引く、両辺に掛ける、両辺を割る）