正の数の実数乗の値と指数の間には、以下のような同値関係があります。
正の数の実数乗の値と指数の同値関係
$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について
\begin{align}\large x<0\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^x\\[1em]\large x>0\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^x<1\end{align}
$1<a$である正の数$a$と実数$x$について
\begin{align}\large x<0\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^x<1\\[1em]\large x>0\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^x\end{align}
$1$でない正の数$a$と実数$x$について
\begin{equation}\large x=0\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}
正の数の実数乗の大小関係と指数の同値関係
$0<a<1$である正の数$a$と実数$x, y$について
\begin{equation}\large x<y\ \Leftrightarrow\
a^x>a^y\end{equation}
$1<a$である正の数$a$と実数$x, y$について
\begin{equation}\large x<y\ \Leftrightarrow\
a^x<a^y\end{equation}
$1$でない正の数$a$と実数$x, y$について
\begin{equation}\large x=y\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y\end{equation}
これらが成り立つことを確かめてみます。
準備
「正の数の実数乗の性質・大小関係」で示した次のことを利用します。
正の数の実数乗の性質
$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について
\begin{cases}1<a^x&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]0<a^x<1&(x>0)\end{cases}
$1<a$である正の数$a$と実数$x$について
\begin{cases}0<a^x<1&(x<0)\\[0.5em]a^x=1&(x=0)\\[0.5em]1<a^x&(x>0)\end{cases}
正の数の実数乗の大小関係
$1$でない正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について
\begin{cases}a^x>a^y&(0<a<1)\\[0.5em]a^x<a^y&(1<a)\end{cases}
これらより以下のような真なる命題がいえます。
正の数の実数乗の値と指数の命題
$0<a<1$である正の数$a$と実数$x$について
\begin{align*}x<0\ \Rightarrow\ &1<a^x\tag{i}\\[1em]x=0\
\Rightarrow\ &a^x=1\tag{ii}\\[1em]x>0\ \Rightarrow\
&0<a^x<1\tag{iii}\end{align*}
$1<a$である正の数$a$と実数$x$について
\begin{align*}x<0\ \Rightarrow\
&0<a^x<1\tag{iv}\\[1em]x=0\ \Rightarrow\
&a^x=1\tag{v}\\[1em]x>0\ \Rightarrow\
&1<a^x\tag{vi}\end{align*}
特に、$\text{(ii)}$と$\text{(v)}$をあわせて
$1$でない正の数$a$と実数$x$について
\[x=0\ \Rightarrow\ a^x=1\tag{vii}\]
正の数の実数乗の大小関係と指数の命題
$0<a<1$である正の数$a$と実数$x, y$について
\[x<y\ \Rightarrow\ a^x>a^y\tag{viii}\]
$1<a$である正の数$a$と実数$x, y$について
\[x<y\ \Rightarrow\ a^x<a^y\tag{ix}\]
正の数の実数乗の値と指数の同値関係
$(1)\ x<0\ \Leftrightarrow\ 1<a^x$
$0<a<1$において$(1)$が真であるためには、真なる命題$\text{(i)}$の逆、すなわち
\[1<a^x\ \Rightarrow\ x<0\tag*{(i)'}\]
が真でなければならないため、これを示します。
$\text{(i)'}$の対偶は
\[x\geqq0\ \Rightarrow\ a^x\leqq1\]
となります。
この命題の真偽を$x=0$のときと$x>0$のときで場合分けして調べます。
- $x=0$のとき、$\text{(ii)}$より$a^x=1$となります。
- $x>0$のとき、$\text{(iii)}$より$0<a^x<1$となります。
（命題参照）
以上より、$x≧0$のとき$a^x≦1$が成り立つので、$\text{(i)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(i)'}$も真であるため、$\text{(i)}$と$\text{(i)'}$より$(1)$も真であることがわかります。
$(2)\ x>0\ \Leftrightarrow\ 0<a^x<1$
$0<a<1$において$(2)$が真であるためには、真なる命題$\text{(iii)}$の逆、すなわち
\[0<a^x<1\ \Rightarrow\ x>0\tag*{(iii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(iii)'}$の対偶は
\[x\leqq0\ \Rightarrow\ a^x\leqq0または1\leqq a^x\]
となります。
この命題の真偽を$x<0$のときと$x=0$のときで場合分けして調べます。
- $x<0$のとき、$\text{(i)}$より$1<a^x$となります。
- $x=0$のとき、$\text{(ii)}$より$a^x=1$となります。
（命題参照）
以上より、$x≦0$のとき$1≦a^x$が成り立つので、$\text{(iii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(iii)'}$も真であるため、$\text{(iii)}$と$\text{(iii)'}$より$(2)$も真であることがわかります。
$(3)\ x<0\ \Leftrightarrow\ 0<a^x<1$
$1<a$において$(3)$が真であるためには、真なる命題$\text{(iv)}$の逆、すなわち
\[0<a^x<1\ \Rightarrow\ x<0\tag*{(iv)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(iv)'}$の対偶は
\[x\geqq0\ \Rightarrow\ a^x\leqq0または1\leqq a^x\]
となります。
この命題の真偽を$x=0$のときと$x>0$のときで場合分けして調べます。
- $x=0$のとき、$\text{(v)}$より$a^x=1$となります。
- $x>0$のとき、$\text{(vi)}$より$1<a^x$となります。
（命題参照）
以上より、$x≧0$のとき$1≦a^x$が成り立つので、$\text{(iv)'}$の対偶は真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(iv)'}$も真であるため、$\text{(iv)}$と$\text{(iv)'}$より$(3)$も真であることがわかります。
$(4)\ x>0\ \Leftrightarrow\ 1<a^x$
$1<a$において$(4)$が真であるためには、真なる命題$\text{(vi)}$の逆、すなわち
\[1<a^x\ \Rightarrow\ x>0\tag*{(vi)'}\]
が真でなければならないため、これを示します。
$\text{(vi)'}$の対偶は
\[x\leqq0\ \Rightarrow\ a^x\leqq1\]
となります。
この命題の真偽を$x<0$のときと$x=0$のときで場合分けして調べます。
- $x<0$のとき、$\text{(iv)}$より$0<a^x<1$となります。
- $x=0$のとき、$\text{(v)}$より$a^x=1$となります。
（命題参照）
以上より、$x≦0$のとき$a^x≦1$が成り立つため、$\text{(vi)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(vi)'}$も真であるため、$\text{(vi)}$と$\text{(vi)'}$より$(4)$も真であることがわかります。
$(5)\ x=0\ \Leftrightarrow\ a^x=1$
$1$でない正の数$a$において$(5)$が真であるためには、真なる命題$\text{(vii)}$の逆、すなわち
\[a^x=1\ \Rightarrow\ x=0\tag*{(vii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(vii)'}$の対偶は
\[x\neq0\ \Rightarrow\ a^x\neq1\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$かつ$x<0$のときと$1<a$かつ$x<0$のとき、$0<a<1$かつ$x>0$のときと$1<a$かつ$x>0$のときで場合分けして調べます。（$1$でない正の数$a$における命題なので、$0<a<1$における命題と$1<a$における命題の2つが必要になります。）
- $0<a<1$かつ$x<0$のとき、$\text{(i)}$より$1<a^x$となります。
- $1<a$かつ$x<0$のとき、$\text{(iv)}$より$0<a^x<1$となります。
- $0<a<1$かつ$x>0$のとき、$\text{(iii)}$より$0<a^x<1$となります。
- $1<a$かつ$x>0$のとき、$\text{(vi)}$より$1<a^x$となります。
（命題参照）
以上より、$1$でない正の数$a$において$x≠0$のとき$a^x≠1$が成り立つので、$\text{(vii)'}$の対偶は真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(vii)'}$も真であるため、$\text{(vii)}$と$\text{(vii)'}$より$(5)$も真であることがわかります。
ここまで、$a=1$における同値関係を扱っていないのは、$a=1$において実数乗$a^x$と指数$x$の間に同値関係がないからです。
正の数の実数乗の性質より、$x<0, x=0,
x>0$のいずれの場合でも$1^x=1$となる、すなわち
実数$x$についての命題
はすべて真となります。
\begin{align*}x<0\ \Rightarrow\ &1^x=1\\[1em]x=0\ \Rightarrow\
&1^x=1\\[1em]x>0\ \Rightarrow\ &1^x=1\end{align*}
しかし、上記のどの命題の逆も、他の命題が反例となって偽となります。
したがって、$a=1$において実数乗$a^x$と指数$x$の間に同値関係はありません。
正の数の実数乗の大小関係と指数の同値関係
$(6)\ x<y\ \Leftrightarrow\ a^x>a^y$
$0<a<1$において$(6)$が真であるためには、真なる命題$\text{(viii)}$の逆、すなわち
\[a^x>a^y\ \Rightarrow\ x<y\tag*{(viii)'}\]
が真でなければならないため、これを示します。
$\text{(viii)'}$の対偶は
\[x\geqq y\ \Rightarrow\ a^x\leqq a^y\]
となります。
この命題の真偽を$x=y$のときと$x>y$のときで場合分けして調べます。
- $x=y$のとき、明らかに$a^x=a^y$となります。
- $x>y$のとき、$x$と$y$を入れ替えた$\text{(viii)}$より$a^x<a^y$となります。
（命題参照）
以上より、$x≧y$のとき$a^x≦a^y$が成り立つので、$\text{(viii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(viii)'}$も真であるため、$\text{(viii)}$と$\text{(viii)'}$より$(6)$も真であることがわかります。
$(7)\ x<y\ \Leftrightarrow\ a^x<a^y$
$1<a$において$(7)$が真であるためには、真なる命題$\text{(ix)}$の逆、すなわち
\[a^x<a^y\ \Rightarrow\ x<y\tag*{(ix)'}\]
が真でなければならないため、これを示します。
$\text{(ix)'}$の対偶は
\[x\geqq y\ \Rightarrow\ a^x\geqq a^y\]
となります。
この命題の真偽を$x=y$のときと$x>y$のときで場合分けして調べます。
- $x=y$のとき、明らかに$a^x=a^y$となります。
- $x>y$のとき、$x$と$y$を入れ替えた$\text{(ix)}$より$a^x>a^y$となります。
（命題参照）
以上より、$x≧y$のとき$a^x≧a^y$が成り立つため、$\text{(ix)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(ix)'}$の真であるため、$\text{(ix)}$と$\text{(ix)'}$より$(7)$も真であることがわかります。
$(8)\ x=y\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y$
$1$でない正の数$a$において$(8)$が真であるためには、自明の命題
\[x=y\ \Rightarrow\ a^x=a^y\tag{x}\]
の逆、すなわち
\[a^x=a^y\ \Rightarrow\ x=y\tag*{(x)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(x)'}$の対偶は
\[x\neq y\ \Rightarrow\ a^x\neq a^y\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$かつ$x<y$のときと$1<a$かつ$x<y$のとき、$0<a<1$かつ$x>y$のときと$1<a$かつ$x>y$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$かつ$x<y$のとき、$\text{(viii)}$より$a^x>a^y$となります。
- $1<a$かつ$x<y$のとき、$\text{(ix)}$より$a^x<a^y$となります。
- $0<a<1$かつ$x>y$のとき、$x$と$y$を入れ替えた$\text{(viii)}$より$a^x<a^y$となります。
- $1<a$かつ$x>y$のとき、$x$と$y$を入れ替えた$\text{(ix)}$より$a^x>a^y$となります。
（命題参照）
以上より、$1$でない正の数$a$において$x≠y$のとき$a^x≠a^y$が成り立つので、$\text{(x)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(x)'}$も真であるため、$\text{(x)}$と$\text{(x)'}$より$(8)$も真であることがわかります。
ここまで、$a=1$における同値関係を扱っていないのは、$a=1$において実数乗$a^x,
a^y$の大小関係と指数$x, y$の大小関係の間に同値関係がないからです。
正の数の実数乗の大小関係より、$x<y, x=y,
x>y$のいずれの場合でも$1^x=1^y=1$となる、すなわち
しかし、上記のどの命題の逆も、他の命題が反例となって偽となります。
実数$x$についての命題
はすべて真となります。
\begin{align*}x<y\ \Rightarrow\ &1^x=1^y=1\\[1em]x=y\
\Rightarrow\ &1^x=1^y=1\\[1em]x>y\ \Rightarrow\
&1^x=1^y=1\end{align*}
しかし、上記のどの命題の逆も、他の命題が反例となって偽となります。
したがって、$a=1$において実数乗$a^x, a^y$の大小関係と指数$x, y$の大小関係の間に同値関係はありません。
(2026/7)内容を変更しました。
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