対数関数とは、
\[\large y=\log_a{x}\quad(a:定数)\]
という、定数$a$を底、独立変数$x$を真数とする対数$\log_a{x}$の値を従属変数$y$の値とする関数のことです。
実関数としての対数関数は実数範囲における対数$\log_a{x}$をもちいるので、底$a$は$1$でない正の実数であり、真数条件より対数関数が定義できる$x$の範囲は$x>0$となります。
$x>0$で定義された対数関数$y=\log_a{x}$の値域はすべての実数です。
$x=1$のとき、対数の性質より底$a$にかかわらず必ず$y=0$となります。
対数関数は単調関数であり、$0<a<1$のときは$x$が増加すると$y$は常に減少する単調減少、$1<a$のときは$x$が増加すると$y$も常に増加する単調増加となります。
これは対数の大小関係
これは対数の大小関係
正の数$a$と$M<N$である正の実数$M, N$について
が成り立つからです。
\begin{cases}\log_a{M}>\log_a{N}&(0<a<1)\\[0.5em]\log_a{M}<\log_a{N}&(1<a)\end{cases}
指数関数$y=a^x$は対数の定義より$x=\log_a{y}$と変形することができます。
すなわち、対数関数$y=\log_a{x}$は指数関数$y=a^x$の逆関数であるということです。
すなわち、対数関数$y=\log_a{x}$は指数関数$y=a^x$の逆関数であるということです。
また、対数の定義より$x=\log_a{y}$から$y=a^x$が成り立っていることがわかるので、指数関数$y=a^x$は対数関数$y=\log_a{x}$の逆関数となります。
指数関数$y=a^x$は単調関数かつ連続関数なので、その逆関数である対数関数$y=\log_a{x}$も連続関数となります。
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