逆関数とは？

　関数とは、ある変数の値1つに対して別の変数のただ1つの値が対応するような規則で定められた関係のことでした。（対応元の変数を独立変数、対応先の変数を従属変数といいます。）
もし、ある関数の独立変数の値と従属変数の値が入れ替わったような対応規則によって定められた関数が存在するとき、その関数のことを逆関数といいます。

独立変数$x$の値と従属変数$y$の値が$a$と$A$、$b$と$B$、$c$と$C$のように対応する関数$y=f(x)$があったとすると、この対応関係は上図の青矢印で表すことができます。
すると、$y=f(x)$の逆関数は青矢印の向きを逆にした赤矢印で表されるような対応関係をもつ関数のこととなります。

すなわち、$y$を独立変数、$x$を従属変数として各変数の値が$A$と$a$、$B$と$b$、$C$と$c$のように対応する関数$x=g(y)$が$y=f(x)$の逆関数となります。
関数の本質は対応関係そのものなので、$x$と$y$を入れ替えて$y=g(x)$と書いたとしても$x=g(y)$と同じ対応規則である以上、これも$y=f(x)$の逆関数といえます。

$y=f(x)$の逆関数であることを明確にするときは

\[\large y=f^{-1}(x)\]

のように書きます。$f$の右上の$-1$は$-1$乗、すなわち逆数$\dfrac{1}{f(x)}$であることを表すものではなく逆関数であることを表すものです。

　逆関数も関数であるので、ある変数の値1つに対して別の変数のただ1つの値が対応するような規則で定められている必要があります。
なので、すべての関数が逆関数をもつわけではありません。

例えば、上図のように対応先が重複する対応関係も関数なのですが、これの逆の対応関係は1つの対応元に複数の対応先のあるものが含まれることになるので関数ではない、すなわち逆関数をもたない関数となります。

このようなことが起こらずに逆の対応関係が関数となる、すなわち逆関数をもつことができるのは、最初の図のように他の対応元と対応先が重複しない完全一対一対応の関数のみです。このような対応の仕方のことを全単射といいます。
したがって、関数が逆関数をもつ条件は全単射であることとなります。

対応の仕方には、単射、全射、全単射があります。これらは集合論の写像でもちいられる言葉ですが、関数と写像は本質的に同じものなので関数に対してももちいることができます。

• 単射とは、対応元が異なれば対応先も異なる対応の仕方のことです。
• 全射とは、対応先の集合内の全要素に対応元が存在する対応の仕方のことです。
• 全単射とは、単射と全射両方の性質を備えている対応の仕方のことです。

値域内のすべての値にはそれぞれ対応元となる独立変数の値が存在するので、すべての関数において定義域と値域の対応の仕方は全射となります。
したがって、関数が全単射であるかは定義域と値域の対応の仕方が単射であるかの部分のみで判定することができます。

定義域によって全単射だったり全単射でなかったりする関数があり、適切な定義域のもとで逆関数をもつ関数もあります。
例えば、$y=\sin x$はすべての実数$x$で定義されているとき全単射ではありません（例：$x=0,2\pi$のとき$y=0$）が、$-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$で定義されているときは全単射となります。
したがって、$y=\sin x$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$は逆関数をもちます。
ちなみに、$y=\sin x$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$の逆関数は$y=\sin^{-1}x$と書きます。
このように適切な定義域のもと全単射となった三角関数の逆関数のことを逆三角関数といいます。

関連：関数とは？

リンク