関数とは？

　関数とは、ある対応関係のことをいいます。

変数$x$のとる値それぞれに別の変数$y$のとる値が1つだけ対応しているとき、$y$は$x$の関数であるといい、この2つの変数間にある対応関係のことを関数と呼びます。

対応元1つにつき対応先がただ1つあればよいので、上図のように異なる対応元と対応先が重複しているような対応関係も関数となります。

しかし、上図のように対応先が複数ある対応関係は関数とはなりません。

$y$が$x$の関数であるとき、対応元となる変数$x$は自由に値を決めることができる変数で独立変数といい、対して対応先となる変数$y$は独立変数の値に応じて値が決まる変数で従属変数といいます。このとき、独立変数の値を引数（ひきすう）、従属変数の値のことを関数値といったりします。

また、独立変数のとりうる値の範囲を定義域、従属変数のとりうる値の範囲を値域といいます。

$y$が$x$の関数で、$y$の値は$x$の値の$3$倍に$1$加えたものであるというのが関数の対応規則のとき、数式で

\[\large y=3x+1\]

と書きます。

$y$が何らかの対応規則により定められた$x$の関数であることを数式で表すときは

\[\large y=f(x)\]

と書きます。$f(x)$は$x$を独立変数とする関数を表します。$f(x)$とは異なる関数は$g(x),h(x),\cdots$のように$f$の部分に他の文字をもちいて表します。

以下に挙げるものも関数です。

• 2つ以上の変数の値の”組”それぞれに別の変数のとる値を1つだけ対応させた関係のことを多変数関数といいます。
• ある変数のとる値それぞれにベクトルを1つだけ対応させた関係のことをベクトル関数あるいはベクトル値関数といいます。

実は、上で関数でないといった対応関係にも関数という字が入っています。
ある変数のとる値それぞれに別の変数のとる値が2つ以上対応しているとき、この対応関係のことを多価関数といいます。この対応関係も関数の一種であると考えた場合の名称となります。