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2023年12月9日

中間角の三角関数

 2つの角度$α,β$の中間の角度$\dfrac{α+β}{2}$の三角関数は$α,β$それぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか?
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2023年12月7日

sin4.5°、cos4.5°、tan4.5°はどんな数?

sin4.5°、cos4.5°、tan4.5°

 $4.5°$ $(=\dfrac{\pi}{40})$の三角比がどのような値となるのかを調べてみます。

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2023年12月6日

18°、36°、54°、72°の三角比

 $18°,36°,54°,72°$の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。

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2023年12月2日

恒等でないtanの半角の公式の変形

 「三角関数 半角の公式」で紹介した$\tan$の半角の公式
\begin{equation}\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\end{equation}
には$\tan\dfrac{θ}{2}$が定義できるすべての実数$θ$において恒等な変形
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
が存在しますが、恒等でない変形も存在します。
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2023年11月30日

tanのとりうる値の範囲はなぜすべての実数なのか?

  任意の実数$θ$において$\tanθ$のとりうる値の範囲はなぜすべての実数なのでしょうか?

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2023年11月27日

三角関数 半角の公式

\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
 これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式
\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}
を利用して導くことができます。
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2023年11月25日

三角関数 2倍角の公式

\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}
 これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。
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2023年11月23日

三角関数の加法定理

 三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について
\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}
が成り立つという定理です。

これらはなぜ成り立つのでしょうか?

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中間角の三角関数

 2つの角度$α,β$の中間の角度$\dfrac{α+β}{2}$の三角関数は$α,β$それぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか?

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