双曲線の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

中心が原点、2つの焦点がともにy軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。これら双曲線の方程式のことを標準形といいます。
（ここでの双曲線とは、共通の焦点により得られる2つの双曲線両方を指します。）

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
頂点間の距離	$2a$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
頂点間の距離	$2b$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{a^2+b^2})$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

Read More

双曲線とは？

　双曲線とは、

2つの定点からの距離の差が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の差は$0$より大きく2定点間の距離より小さいものとします。
2つの定点のことを焦点といいます。

Read More

楕円の方程式（一般形）

　座標平面上の任意の楕円を表す方程式のことを一般形といいます。
楕円の一般形も楕円の定義に従って導き出すことができます。

Read More

楕円の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸またはy軸上にある楕円は

\[\large \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。この楕円の方程式のことを標準形といいます。

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$a>b>0$
長軸の長さ	$2a$
短軸の長さ	$2b$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2-b^2}, 0)$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$b>a>0$
長軸の長さ	$2b$
短軸の長さ	$2a$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{b^2-a^2})$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

Read More

楕円とは？

楕円とは、

2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の和は2定点間の距離より大きいものとします。
この2つの定点のことを焦点といいます。

Read More

三角関数とは？ ④三角関数のグラフ

　任意の角度に対して定義された三角関数のふるまいはグラフという形で表すことができます。

$\sin x, \cos x, \tan x$のグラフがどのような形であるのかを見てみます。

Read More

三角関数とは？ ③三角関数の値を求める

　前回は、三角関数の単位円による定義と、象限ごとの三角関数の値の符号や変化についてみました。

では、三角関数の具体的な値はどのように求めるのでしょうか？

Read More

三角関数とは？ ②単位円による定義

　三角比とは、直角三角形の1つの鋭角$θ$に対して定まる2つの辺の比のことで、代表的なものに$\sinθ, \cosθ, \tanθ$があります。

関連：三角関数とは？　①三角比（直角三角形による定義）

これらの値は、鋭角$θ$の大きさに応じてただ1つに定まります。
このように、ある値を決めると対応する値が1つに決まる関係を関数といいます。

関連：関数とは？

したがって、$\sinθ, \cosθ, \tanθ$は関数として扱うことができ、これらをまとめて三角関数といいます。
すなわち、角度と三角比の値との対応関係に着目したものが三角関数です。

直角三角形による定義においては三角比と三角関数は同じものとして扱うことができます。
しかし、直角三角形による定義では$θ$は鋭角なので、$0°<θ<90°$の範囲の角度にしか対応できません。

そこで、任意の角度においても値を定められるように、直角三角形に依存しない定義として単位円をもちいて三角関数を定義します。

Read More