収束する数列の極限の性質③（四則演算）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]

数列の差の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]

数列の積の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]

数列の商の極限

数列$\{b_n\}$のすべての項で$b_n\neq0$かつ$β≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質②（定数倍、逆数）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=0\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$k$を任意の実数とすると

\[\large \lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]

数列の逆数の極限

数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$かつ$α≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]

数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n>0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\infty\]

数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n<0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=-\infty\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件③（εやKの範囲を制限かつεやKを正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件①」と「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件②」を組み合わせた同値な条件があります。

正の定数$c, ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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収束する数列の極限の性質①（一意性、大小関係）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

極限の一意性

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n=b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha=\beta\]

極限の大小関係

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n≦b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha\leqq\beta\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

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収束する数列の性質（収束する数列と有界な数列）

数列$\{a_n\}$が収束するならば、すべての項において$|a_n|<K$を満たす正の数$K$が存在する。

といえます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②（εやKの正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。

正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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実数における三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、実数$x, y$における三角不等式は

\[\large \bigl||x|-|y|\bigr|\leqq |x+y|\leqq |x|+|y|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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幾何ベクトルにおける三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、ベクトル$\vec{x}, \vec{y}$における三角不等式は

\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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