幾何ベクトルの成分とは？

　幾何ベクトルの成分とは、幾何ベクトルを表す有向線分の始点を直交座標の原点に一致させたときの、終点の座標のことです。単にベクトルの成分ともいいます。
幾何ベクトル$\vec{a}$を表す原点を始点とする有向線分の終点が$(a_x, a_y)$であるとき、

\[\large \vec{a}=(a_x, a_y)\]

のように表します。これをベクトルの成分表示といいます。

Read More

位置ベクトルとは？

　位置ベクトルとは、基準点を始点とする有向線分が表す幾何ベクトルのことです。
位置ベクトルは点の位置を表すためにもちいられます。

Read More

単位ベクトルとは？

　単位ベクトルとは、大きさが$1$のベクトルのことです。
零ベクトルでない任意の幾何ベクトル$\vec{a}$と同じ向きをもつ単位ベクトル$\vec{e}$は

\begin{equation}\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\end{equation}

により定められます。

Read More

幾何ベクトルの計算法則（実数倍の実数倍、加法の交換法則・結合法則、実数倍の分配法則）

　幾何ベクトルでは、次のことが成り立ちます。

幾何ベクトルの実数倍の実数倍

幾何ベクトル$\vec{a}$と実数$p, q$について

\[\large p(q\vec{a})=(pq)\vec{a}\]

幾何ベクトルの加法の交換法則

幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}$について

\[\large \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\]

幾何ベクトルの加法の結合法則

幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$について

\[\large (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\]

幾何ベクトルの実数倍の分配法則

幾何ベクトル$\vec{a}$と実数$p, q$について

\[\large (p+q)\vec{a}=p\vec{a}+q\vec{a}\]

幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}$と実数$p$について

\[\large p(\vec{a}+\vec{b})=p\vec{a}+p\vec{b}\]

これらが成り立つことを確かめてみます。

Read More

幾何ベクトルとは？ （幾何ベクトルの基本性質）

　幾何ベクトルとは、平面上あるいは空間内において向きと大きさをもつ量のことです。
幾何ベクトルは、平面上においては平面ベクトル、空間内においては空間ベクトル、あるいは単にベクトルとも呼ばれます。

Read More

三角形の内心と傍心の性質

　三角形の内心と傍心には、次のような性質があります。

• 三角形の内心と傍心は、三角形をつくる3本の直線に接する円の中心である。
• 三角形の内心と1辺の両端、そしてその辺に関して内心と反対側にある傍心は同一円周上にある。
• 三角形の内心は、傍心を結んでできる三角形の垂心である。

これらの性質があることを確かめてみます。

Read More

三角形の五心 ⑤三角形の傍心とは？

　三角形の傍心とは、1つの内角の二等分線と他の２つの頂点における外角の二等分線の交わる点のことです。
1つの内角と他の2つの頂点における外角は3組あるので、他の三角形の五心と異なり傍心は1つの三角形に3つ存在します。

どの三角形の、どの角の組においても3本の角の二等分線がただ1点で交わり、必ず傍心が存在することを確かめます。

Read More

三角形の五心 ④三角形の垂心とは？

三角形の垂心とは、頂点を通り対辺またはその延長に対する3本の垂線の交わる点のことです。

どの三角形においても、3本の垂線がただ1点で交わり、必ず垂心が存在することを確かめます。

Read More