収束する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の和の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]
数列の差の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]
数列の積の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]
数列の商の極限
数列$\{b_n\}$のすべての項で$b_n\neq0$かつ$β≠0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]
なぜこれらは成り立つのでしょうか?
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