正の数の整数乗の性質と大小関係は以下のようになります。
正の数の整数乗の性質
$1<a$である正の数$a$と整数$n$について
\begin{gather*}\large\begin{cases}0<a^n<1&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]1<a^n&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\end{gather*}
$a=1$である正の数$a$と整数$n$について、$n$の値にかかわらず常に
\[\large a^n=1\]
$0<a<1$である正の数$a$と整数$n$について
\begin{gather*}\large\begin{cases}1<a^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]0<a^n<1&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\end{gather*}
特に、正の数$a$と整数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に
\[\large a^n>0\]
正の数の整数乗の大小関係
$a\neq1$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について
\[\large\begin{cases}a^m>a^n&(0<a<1)\\[0.5em]a^m<a^n&(1<a)\end{cases}\]
$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m,
n$の大小関係にかかわらず常に
\[\large a^m=a^n=1\]
$a<b$である正の数$a, b$と整数$n$について
\[\large\begin{cases}a^n>b^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=b^n=1&(n=0)\\[0.5em]a^n<b^n&(n>0)\end{cases}\]
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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