数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には同値な条件があります。
それぞれの同値な条件は以下のようになります。

収束の定義と同値な条件

ある正の数$ε_0$をとり、$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<ε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

ある正の数$K_0$をとり、$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

ある負の数$L_0$をとり、$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ②数列の極限・発散

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の発散の定義をみてみます。

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ①数列の極限・収束

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の収束の定義をみてみます。

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正の数の実数乗の値と底の同値関係

　正の数の実数乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の実数乗の値と底の同値関係

正の数$a$と負の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\end{align}

正の数$a$と正の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\end{align}

正の数$a$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}

正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^x<a^y\end{align}

正の数$a, b$と負の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x>b^x\end{equation}

正の数$a, b$と正の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x<b^x\end{equation}

正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の累乗（自然数乗）の値と底の同値関係

　正の数の累乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の累乗の値と底の同値関係

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^n<1\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^n\end{align}

正の数の累乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m>a^n\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m=a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^m<a^n\end{align}

正の数$a, b$と自然数$n$について

\begin{align}\large a<b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n<b^n\\[1em]\large a=b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=b^n\end{align}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の整数乗の性質・大小関係

　正の数の整数乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の整数乗の性質

$1<a$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}0<a^n<1&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]1<a^n&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=0\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と整数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}1<a^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]0<a^n<1&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=\infty\end{gather*}

特に、正の数$a$と整数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の整数乗の大小関係

・底が同じ場合

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m>a^n\]

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m<a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と整数$n$について

\[\large\begin{cases}a^n>b^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=b^n=1&(n=0)\\[0.5em]a^n<b^n&(n>0)\end{cases}\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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正の数の累乗（自然数乗）の性質・大小関係

　正の数の累乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の累乗の性質

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large a^n>1\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large0<a^n<1\\[0.5em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\end{gather*}

特に、正の数$a$と自然数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の累乗の大小関係

・底が同じ場合

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m<a^n\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m>a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について

\[\large a^n<b^n\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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互いに垂直な直線の方程式の係数の関係（直線の垂直条件）

　互いに垂直な直線$a_1x+b_1y+c_1=0$と$a_2x+b_2y+c_2=0$について、

\[\large a_1a_2+b_1b_2=0\]

互いに垂直な直線を表す1次関数$y=d_1x+e_1$と$y=d_2x+e_2$について、

\[\large d_1d_2=-1\]

という関係が成り立ちます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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