数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②（εやKの正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。

正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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実数における三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、実数$x, y$における三角不等式は

\[\large \bigl||x|-|y|\bigr|\leqq |x+y|\leqq |x|+|y|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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幾何ベクトルにおける三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、ベクトル$\vec{x}, \vec{y}$における三角不等式は

\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①（εやKの範囲を制限）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には同値な条件があります。

正の定数$ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<ε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ②数列の極限・発散

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の発散の定義をみてみます。

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イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ①数列の極限・収束

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の収束の定義をみてみます。

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正の数の実数乗の値と底の同値関係

　正の数の実数乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の実数乗の値と底の同値関係

正の数$a$と負の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\end{align}

正の数$a$と正の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\end{align}

正の数$a$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}

正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^x<a^y\end{align}

正の数$a, b$と負の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x>b^x\end{equation}

正の数$a, b$と正の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x<b^x\end{equation}

正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の累乗（自然数乗）の値と底の同値関係

　正の数の累乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の累乗の値と底の同値関係

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^n<1\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^n\end{align}

正の数の累乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m>a^n\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m=a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^m<a^n\end{align}

正の数$a, b$と自然数$n$について

\begin{align}\large a<b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n<b^n\\[1em]\large a=b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=b^n\end{align}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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