2つの角度$α,β$の中間の角度$\dfrac{α+β}{2}$の三角関数は$α,β$それぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか？
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$4.5°$ $(=\dfrac{\pi}{40})$の三角比がどのような値となるのかを調べてみます。
2023年12月9日
2023年12月7日
2023年12月6日
2023年12月2日
恒等でないtanの半角の公式の変形
「三角関数 半角の公式」で紹介した$\tan$の半角の公式
\begin{equation}\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\end{equation}
には$\tan\dfrac{θ}{2}$が定義できるすべての実数$θ$において恒等な変形
\[\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
が存在しますが、恒等でない変形も存在します。
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2023年11月30日
2023年11月27日
三角関数 半角の公式
\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}
これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式
\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}
を利用して導くことができます。
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2023年11月25日
三角関数 2倍角の公式
\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}
これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。
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2023年11月23日
三角関数の加法定理
三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について
\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}
が成り立つという定理です。
これらはなぜ成り立つのでしょうか？
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