正射影ベクトルとは？

　幾何ベクトル$\vec{a}$を零ベクトルでない幾何ベクトル$\vec{b}$に垂直な方向から$\vec{b}$を延長した直線上に投影すると、幾何ベクトルが得られます。
この得られた幾何ベクトルのことを、$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルといいます。

$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルを$\vec{p}$とすると、

$\vec{a}=\vec{0}$のとき

\[\large \vec{p}=\vec{0}\]

$\vec{a}≠\vec{0}$のとき

$\vec{a}, \vec{b}$のなす角を$θ$とすると

\[\large \vec{p}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]

となります。

なぜこのように表せるのでしょうか？

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幾何ベクトルの成分と座標軸方向の単位ベクトル

　幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$は、x軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_x}$とy軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_y}$をもちいて

\[\large \vec{a}=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}\]

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

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幾何ベクトルの成分の計算法則（加法の交換法則・結合法則、実数倍の結合法則・分配法則）

　「幾何ベクトルの計算法則」で示した各計算法則をベクトル成分表示すると、次のようになります。

幾何ベクトルの加法の交換法則

幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$について

\[\large (a_x, a_y)+(b_x, b_y)=(b_x, b_y)+(a_x, a_y)\]

幾何ベクトルの加法の結合法則

幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y),$ $\vec{c}=(c_x, c_y)$について

\[\large \bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}+(c_x, c_y)=(a_x, a_y)+\bigl\{(b_x, b_y)+(c_x, c_y)\bigr\}\]

幾何ベクトルの実数倍の結合法則

幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$と実数$p, q$について

\[\large p\bigl\{q(a_x, a_y)\bigr\}=(pq)(a_x, a_y)\]

幾何ベクトルの実数倍の分配法則

幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$と実数$p, q$について

\[\large (p+q)(a_x, a_y)=p(a_x, a_y)+q(a_x, a_y)\]

幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$と実数$p$について

\[\large p\bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}=p(a_x, a_y)+p(b_x, b_y)\]

これらが成り立つことを、幾何ベクトルの成分の基本性質をもちいて改めて確かめてみます。

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平面ベクトルの大きさと向きと成分

　平面ベクトルの大きさと向きは、平面ベクトルの成分をもちいて表すことができます。

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幾何ベクトルの成分とは？（幾何ベクトルの成分の基本性質）

　幾何ベクトルの成分とは、幾何ベクトルを表す有向線分の始点を直交座標の原点に一致させたときの、終点の座標のことです。単にベクトルの成分ともいいます。
幾何ベクトル$\vec{a}$を表す原点を始点とする有向線分の終点が$(a_x, a_y)$であるとき、

\[\large \vec{a}=(a_x, a_y)\]

のように表します。これをベクトルの成分表示といいます。

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位置ベクトルとは？

　位置ベクトルとは、基準点を始点とする有向線分が表す幾何ベクトルのことです。
位置ベクトルは点の位置を表すためにもちいられます。

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単位ベクトルとは？

　単位ベクトルとは、大きさが$1$のベクトルのことです。
零ベクトルでない任意の幾何ベクトル$\vec{a}$と同じ向きをもつ単位ベクトル$\vec{e}$は

\begin{equation}\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\end{equation}

により定められます。

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幾何ベクトルの計算法則（加法の交換法則・結合法則、実数倍の結合法則・分配法則）

　幾何ベクトルでは、次のことが成り立ちます。

幾何ベクトルの加法の交換法則

幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}$について

\[\large \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\]

幾何ベクトルの加法の結合法則

幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$について

\[\large (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\]

幾何ベクトルの実数倍の結合法則

幾何ベクトル$\vec{a}$と実数$p, q$について

\[\large p(q\vec{a})=(pq)\vec{a}\]

幾何ベクトルの実数倍の分配法則

幾何ベクトル$\vec{a}$と実数$p, q$について

\[\large (p+q)\vec{a}=p\vec{a}+q\vec{a}\]

幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}$と実数$p$について

\[\large p(\vec{a}+\vec{b})=p\vec{a}+p\vec{b}\]

これらが成り立つことを確かめてみます。

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