2直線がつくる角の二等分線と2直線を接線とする円の中心

　2直線$l,m$が1点で交わっているとき、$l,m$がつくる角の二等分線上の交点以外の点は$l,m$を接線とする円の中心となります。
このことを確かめてみます。

　2直線$l,m$の交点を$\text{P}$とし、$l,m$がつくる角の二等分線上に$\text{P}$でない点$\text{Q}$をとります。

点$\text{Q}$から直線$l,m$にそれぞれ垂線をおろし、その足を$\text{R,S}$とすると、直角三角形$△\text{PQR},△\text{PQS}$ができます。

直角三角形$△\text{PQR}$と$△\text{PQS}$に着目すると、

• 共通の斜辺なので$\text{PQ}=\text{PQ}$
• 直角三角形なので$∠\text{PRQ}=∠\text{PSQ}=90°$
• 直線$\text{PQ}$は直線$l,m$のつくる角の二等分線なので$∠\text{QPR}=∠\text{QPS}$

斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しいので、直角三角形$△\text{PQR}$と$△\text{PQS}$は合同であることがわかります。
ゆえに$\text{QR}=\text{QS}$で、点$\text{Q}$を中心として2点$\text{R,S}$を通る円（以下、円$\text{Q}$）が存在することがわかります。

また、$∠\text{PRQ}=∠\text{PSQ}=90°$は$\text{PR}\perp \text{QR},\text{PS}\perp \text{QS}$ということであり、直線$\text{PR}$は直線$l$、直線$\text{PS}$は直線$m$のことです。
円の中心以外の半径の端点を通り、かつその半径に垂直な直線は円の接線なので、直線$l,m$は円$\text{Q}$の接線であることがわかります。

以上より、直線$l,m$がつくる角の二等分線上の交点$\text{P}$以外の点は$l,m$を接線とする円の中心であることを確かめることができました。

　逆に円の中心と平行でない2本の円の接線の交点を通る直線は2接線がつくる角の二等分線となります。

円の中心を$\text{O}$、円$\text{O}$の平行でない2本の接線を$l,m$、交点を$\text{P}$とします。
接線$l,m$上の円$\text{O}$との接点をそれぞれ$\text{Q,R}$とすると、2つの三角形$△\text{OPQ},△\text{OPR}$ができます。

$△\text{OPQ}$と$△\text{OPR}$に着目すると、

• 円の接線の性質より$\text{PQ}\perp \text{OQ},\text{PR}\perp \text{OR}$
  すなわち、$∠\text{OQP}=∠\text{ORP}=90°$
• 共通の辺なので$\text{OP}=\text{OP}$、これは上記の直角の内角より斜辺であることがわかります。
• 円$\text{O}$の半径なので$\text{OQ}=\text{OR}$

直角三角形の斜辺と他の1組の辺がそれぞれ等しいので$△\text{OPQ}$と$△\text{OPR}$は合同であることがわかります。
ゆえに$∠\text{OPQ}=∠\text{OPR}$で、$∠\text{QPR}=∠\text{OPQ}+∠\text{OPR}$より$∠\text{OPQ}=∠\text{OPR}=\dfrac{∠\text{QPR}}{2}$です。
$∠\text{QPR}$は2接線$l,m$がつくる角なので、直線$\text{OP}$は2接線$l,m$がつくる角の2等分線であることがわかります。

以上より、円の中心と平行でない2本の接線の交点を通る直線は2接線がつくる角の二等分線であることを確かめることができました。

関連：角の二等分線の作図