2直線l,ml,mが1点で交わっているとき、l,ml,mがつくる角の二等分線上の交点以外の点はl,ml,mを接線とする円の中心となります。
このことを確かめてみます。
このことを確かめてみます。
点QQから直線l,ml,mにそれぞれ垂線をおろし、その足をR,SR,Sとすると、直角三角形△PQR,△PQS△PQR,△PQSができます。
直角三角形△PQR△PQRと△PQS△PQSに着目すると、
ゆえにQR=QSQR=QSで、点QQを中心として2点R,SR,Sを通る円（以下、円QQ）が存在することがわかります。
- 共通の斜辺なのでPQ=PQPQ=PQ
- 直角三角形なので∠PRQ=∠PSQ=90°∠PRQ=∠PSQ=90°
- 直線PQPQは直線l,ml,mのつくる角の二等分線なので∠QPR=∠QPS∠QPR=∠QPS
ゆえにQR=QSQR=QSで、点QQを中心として2点R,SR,Sを通る円（以下、円QQ）が存在することがわかります。
また、∠PRQ=∠PSQ=90°∠PRQ=∠PSQ=90°はPR⊥QR,PS⊥QSPR⊥QR,PS⊥QSということであり、直線PRPRは直線ll、直線PSPSは直線mmのことです。
円の中心以外の半径の端点を通り、かつその半径に垂直な直線は円の接線なので、直線l,ml,mは円QQの接線であることがわかります。
円の中心以外の半径の端点を通り、かつその半径に垂直な直線は円の接線なので、直線l,ml,mは円QQの接線であることがわかります。
以上より、直線l,ml,mがつくる角の二等分線上の交点PP以外の点はl,ml,mを接線とする円の中心であることを確かめることができました。
逆に円の中心と平行でない2本の円の接線の交点を通る直線は2接線がつくる角の二等分線となります。
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接線l,ml,m上の円OOとの接点をそれぞれQ,RQ,Rとすると、2つの三角形△OPQ,△OPR△OPQ,△OPRができます。
△OPQ△OPQと△OPR△OPRに着目すると、
ゆえに∠OPQ=∠OPR∠OPQ=∠OPRで、∠QPR=∠OPQ+∠OPR∠QPR=∠OPQ+∠OPRより∠OPQ=∠OPR=∠QPR2∠OPQ=∠OPR=∠QPR2です。
∠QPR∠QPRは2接線l,ml,mがつくる角なので、直線OPOPは2接線l,ml,mがつくる角の2等分線であることがわかります。
-
円の接線の性質よりPQ⊥OQ,PR⊥ORPQ⊥OQ,PR⊥OR
すなわち、∠OQP=∠ORP=90°∠OQP=∠ORP=90° - 共通の辺なのでOP=OPOP=OP、これは上記の直角の内角より斜辺であることがわかります。
- 円OOの半径なのでOQ=OROQ=OR
ゆえに∠OPQ=∠OPR∠OPQ=∠OPRで、∠QPR=∠OPQ+∠OPR∠QPR=∠OPQ+∠OPRより∠OPQ=∠OPR=∠QPR2∠OPQ=∠OPR=∠QPR2です。
∠QPR∠QPRは2接線l,ml,mがつくる角なので、直線OPOPは2接線l,ml,mがつくる角の2等分線であることがわかります。
以上より、円の中心と平行でない2本の接線の交点を通る直線は2接線がつくる角の二等分線であることを確かめることができました。
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