三角形の傍心 ~ 数学について考えてみる

2024年10月10日

三角形の傍心

PLUMBAGO

　三角形の傍心とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。
三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。

$△\text{ABC}$ の2つの外角

$\text{B, C}$ の二等分線の交点を

$\text{P}$ とします。
点

$\text{P}$ が傍心であるならば直線

$\text{AP}$ は内角

$\text{A}$ の二等分線となるはずなので、これを確かめます。

点 $\text{P}$ から直線 $\text{AB, BC, CA}$ へそれぞれ垂線をおろし、その足を $\text{Q, R, S}$ とします。
すると、外角 $\text{B}$ の二等分線において2直線がつくる角の二等分線の性質より $\text{PQ}=\text{PR}$ 、
同様に外角 $\text{C}$ の二等分線において $\text{PR}=\text{PS}$ となるので、 $\text{PQ}=\text{PS}$ であることがわかります。

$△\text{APQ}$ と

$△\text{APS}$ に着目すると

線分 $\text{PQ, PS}$ はそれぞれ直線 $\text{AB, CA}$ に対する垂線なので $∠\text{AQP}=∠\text{ASP}=90°$
また、 $\text{PQ}=\text{PS}$
共通の辺なので $\text{AP}=\text{AP}$

斜辺と他の1組の辺がそれぞれ等しいので

$△\text{APQ}$ と

$△\text{APS}$ は合同であることがわかります。

ゆえに $∠\text{PAQ}=∠\text{PAS}$ で、 $∠\text{QAS}=∠\text{PAQ}+∠\text{PAS}$ より $∠\text{PAQ}=∠\text{PAS}=\dfrac{∠\text{QAS}}{2}$ です。
$∠QAS$ は2直線 $\text{AB, CA}$ がつくる角なので直線 $\text{AP}$ はその二等分線であることがわかります。

以上より、 $△\text{ABC}$ の内角 $\text{A}$ の二等分線と外角 $\text{B, C}$ それぞれの二等分線は1点で交わることを確かめることができました。
これは内角 $\text{B}$ と外角 $\text{A, C}$ 、内角 $C$ と外角 $\text{A, B}$ の場合でも同様なので、傍心は1個の三角形に3個存在することがわかります。