横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2024年10月10日

三角形の傍心

三角形の傍心
 三角形の傍心とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。
三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。

2つの外角の二等分線と内角の二等分線が1点で交わることを確かめる
 ABCの2つの外角B, Cの二等分線の交点をPとします。
Pが傍心であるならば直線APは内角Aの二等分線となるはずなので、これを確かめます。

Pから直線AB, BC, CAへそれぞれ垂線をおろし、その足をQ, R, Sとします。
すると、外角Bの二等分線において2直線がつくる角の二等分線の性質よりPQ=PR
同様に外角Cの二等分線においてPR=PSとなるので、PQ=PSであることがわかります。

APQAPSに着目すると
  • 線分PQ, PSはそれぞれ直線AB, CAに対する垂線なのでAQP=ASP=90°
  • また、PQ=PS
  • 共通の辺なのでAP=AP
斜辺と他の1組の辺がそれぞれ等しいのでAPQAPSは合同であることがわかります。

ゆえにPAQ=PASで、QAS=PAQ+PASよりPAQ=PAS=QAS2です。
QASは2直線AB, CAがつくる角なので直線APはその二等分線であることがわかります。

以上より、ABCの内角Aの二等分線と外角B, Cそれぞれの二等分線は1点で交わることを確かめることができました。
これは内角Bと外角A, C、内角Cと外角A, Bの場合でも同様なので、傍心は1個の三角形に3個存在することがわかります。


 ここで、上述より内角Aに対する傍心から直線AB, BC, CAへそれぞれおろした垂線の長さが等しいことがわかりましたが、これは内角Aに対する傍心が3直線AB, BC, CAを接線とする円の中心であるということです。この円を傍接円といいます。
同様に内角B, Cそれぞれに対する傍心も3直線AB, BC, CAを接線とする円の中心となります。
さらにABCの内接円の中心である内心Iも3直線AB, BC, CAを接線とする円の中心であるといえるので、1点で交わらない互いに平行でない3直線を接線とする円の中心は3直線によってできる三角形の内心と傍心となります。
内接円と内心、傍接円と傍心

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ