三角形の傍心とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。
三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。
三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。
点から直線へそれぞれ垂線をおろし、その足をとします。
すると、外角の二等分線において2直線がつくる角の二等分線の性質より、
同様に外角の二等分線においてとなるので、であることがわかります。
とに着目すると
- 線分はそれぞれ直線に対する垂線なので
- また、
- 共通の辺なので
ゆえにで、よりです。
は2直線がつくる角なので直線はその二等分線であることがわかります。
以上より、の内角の二等分線と外角それぞれの二等分線は1点で交わることを確かめることができました。
これは内角と外角、内角と外角の場合でも同様なので、傍心は1個の三角形に3個存在することがわかります。
ここで、上述より内角に対する傍心から直線へそれぞれおろした垂線の長さが等しいことがわかりましたが、これは内角に対する傍心が3直線を接線とする円の中心であるということです。この円を傍接円といいます。
同様に内角それぞれに対する傍心も3直線を接線とする円の中心となります。
同様に内角それぞれに対する傍心も3直線を接線とする円の中心となります。
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