三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる ~ 数学について考えてみる

2024年10月1日

三角形の内角と内心・外心と他の頂点を結んでできる角の関係を調べる

PLUMBAGO

　三角形の1つの内角とその三角形の内心または外心と他の頂点を結んだときにできる角の大きさにはどのような関係があるでしょうか？

△ ABC

$△\text{ABC}$ の内角

∠ A

$∠\text{A}$ に着目し、内心

I

$\text{I}$ または外心

O

$\text{O}$ と他の頂点を結んだときにできる角

∠ BIC, ∠ BOC

$∠\text{BIC},∠\text{BOC}$ が

∠ A

$∠\text{A}$ をもちいてどのように表すことができるのかを調べてみます。

内心のつくる角

　三角形の内心は、その三角形の内接円の中心であり、内角の二等分線の交点でもあります。

したがって、

△ ABC

$△\text{ABC}$ の内心

$\text{I}$ と各頂点を結ぶ線分

$\text{AI,BI,CI}$ はそれぞれ

$∠\text{A},∠\text{B},∠\text{C}$ の二等分線となるので、

$∠\text{IAB}=∠\text{IAC}=α,$

$∠\text{IBA}=∠\text{IBC}=β,$

$∠\text{ICA}=∠\text{ICB}=γ$ とおくことができます。

$△\text{ABC}$ において、内角の和は

$\begin{align*}∠\text{A}+∠\text{B}+∠\text{C}&=180°\\[0.5em]∠\text{A}+(∠\text{IBA}+∠\text{IBC})+(∠\text{ICA}+∠\text{ICB})&=180°\\[0.5em]∠\text{A}+2\beta+2\gamma&=180°\end{align*}$

となり、

$β+γ$ について解くと

$\begin{align*}2\beta+2\gamma&=180°-∠\text{A}\\[0.5em]2(\beta+\gamma)&=180°-∠\text{A}\\[0.5em]\beta+\gamma&=\frac{180°-∠\text{A}}{2}\tag1\end{align*}$

となります。

$△\text{IBC}$ において、内角の和は

$\begin{align*}∠\text{BIC}+∠\text{IBC}+∠\text{ICB}&=180°\\[0.5em]∠\text{BIC}+\beta+\gamma&=180°\end{align*}$

となり、

$β+γ$ について解くと

$\beta+\gamma=180°-∠\text{BIC}\tag2$

となります。

$(1),(2)$ より

$\begin{align*}\frac{180°-∠\text{A}}{2}&=180°-∠\text{BIC}\\[0.5em]∠\text{BIC}&=180°-\frac{180°-∠\text{A}}{2}\\[0.5em]\therefore∠\text{BIC}&=\frac{∠\text{A}+180°}{2}\end{align*}$

$∠\text{B}$ と

$∠\text{AIC}$ 、

$∠\text{C}$ と

$∠\text{AIB}$ に関してもこれと同様の式を導くことができます。

したがって、三角形の内角の大きさを

$θ$ 、内心と他の頂点を結んでできる角の大きさを

$φ$ とおくと、

$φ$ は

$θ$ をもちいて

$\large\varphi=\frac{\theta+180°}{2}$

という式で表せることがわかります。

なお、