三角形の外心・内心と角度

「上図の角度$x,y$をそれぞれ求めよ。
(1)の点$I$は$△ABC$の内心、(2)の点$O$は$△DEF$の外心である。」

　角度$x,y$はそれぞれ外心・内心の性質に着目すると求めることができます。

(1)

　三角形の内心は、三角形の内接円の中心であり、内角の二等分線の交点でもあります。

関連：三角形の内心が角の二等分線の交点で求められるのはナゼ？

したがって、線分$BI$を引くと、これは$∠B$の二等分線となります。
また、線分$AI,CI$もそれぞれ$∠A,∠C$の二等分線なので、$∠IAB=∠IAC=α,$$∠IBA=∠IBC=β,$$∠ICA=∠ICB=γ$とおくことができます。

すると、三角形の内角の和は$180°$なので、$△ABC$において

\begin{align*}∠A+∠B+∠C&=180°\\[0.5em](∠IAB+∠IAC)+(∠IBA+∠IBC)+(∠ICA+∠ICB)&=180°\\[0.5em]2\alpha+2\beta+2\gamma&=180°\\[0.5em]2(\alpha+\beta+\gamma)&=180°\end{align*}

となり、両辺を$2$で割ると

\[\alpha+\beta+\gamma=90°\tag{a}\]

が導かれます。

$△IAC$において

\begin{align*}∠AIC+∠IAC+∠ICA&=180°\\[0.5em]146°+\alpha+\gamma&=180°\end{align*}

となり、整理すると

\[\alpha+\gamma=34°\tag{b}\]

が導かれます。

$\text{(a),(b)}$より

\begin{align*}34°+\beta&=90°\\[0.5em]\beta&=56°\end{align*}

$x=∠B=2β$なので両辺に$2$を掛けると

\[2\beta=112°\]

すなわち、

\[x=112°\]

と求められます。

(2)

　三角形の外心は、三角形の外接円の中心です。

関連：三角形の外心が３辺の垂直二等分線の交点で求められるのはナゼ？

したがって、線分$EO$を引くと$DO=EO=FO$が成り立ち、$△ODE,△OEF,△OFD$は二等辺三角形となります。
このことから、$∠ODE=∠OED=\delta,$$∠OEF=∠OFE=\epsilon,$$∠OFD=∠ODF=\zeta$とおくことができます。

関連：二等辺三角形の特徴

すると、$△DEF$において

\begin{align*}∠D+∠E+∠F&=180°\\[0.5em](∠ODE+∠ODF)+(∠OED+∠OEF)+(∠OFD+∠OFE)&=180°\\[0.5em](\delta+\zeta)+(\delta+\epsilon)+(\zeta+\epsilon)&=180°\\[0.5em]2\delta+2\epsilon+2\zeta&=180°\\[0.5em]2(\delta+\epsilon+\zeta)&=180°\end{align*}

となり、両辺を$2$で割ると

\[\delta+\epsilon+\zeta=90°\tag{c}\]

が導かれます。

また、$∠E=38°$より

\[\delta+\epsilon=38°\]

なので、これを$\text{c}$に代入すると

\begin{align*}38°+\zeta&=90°\\[0.5em]\zeta&=52°\tag{d}\end{align*}

であることがわかります。

$△OFD$において

\begin{align*}∠DOF+∠OFD+∠ODF&=180°\\[0.5em]y+2\zeta&=180°\end{align*}

であり、$\text{d}$を代入して$y$について解くと

\begin{align*}y+2\cdot52°&=180°\\[0.5em]y+104°&=180°\\[0.5em]y&=76°\end{align*}

と求められます。