(1)の点$I$は$△ABC$の内心、(2)の点$O$は$△DEF$の外心である。」
角度$x,y$はそれぞれ外心・内心の性質に着目すると求めることができます。
(1)
.png)
また、線分$AI,CI$もそれぞれ$∠A,∠C$の二等分線なので、$∠IAB=∠IAC=α,$$∠IBA=∠IBC=β,$$∠ICA=∠ICB=γ$とおくことができます。
すると、三角形の内角の和は$180°$なので、$△ABC$において
\begin{align*}∠A+∠B+∠C&=180°\\[0.5em](∠IAB+∠IAC)+(∠IBA+∠IBC)+(∠ICA+∠ICB)&=180°\\[0.5em]2\alpha+2\beta+2\gamma&=180°\\[0.5em]2(\alpha+\beta+\gamma)&=180°\end{align*}
となり、両辺を$2$で割ると
\[\alpha+\beta+\gamma=90°\tag{a}\]
が導かれます。
$△IAC$において
\begin{align*}∠AIC+∠IAC+∠ICA&=180°\\[0.5em]146°+\alpha+\gamma&=180°\end{align*}
となり、整理すると
\[\alpha+\gamma=34°\tag{b}\]
が導かれます。
$\text{(a),(b)}$より
\begin{align*}34°+\beta&=90°\\[0.5em]\beta&=56°\end{align*}
$x=∠B=2β$なので両辺に$2$を掛けると
\[2\beta=112°\]
すなわち、
\[x=112°\]
と求められます。
(2)
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\[\angle DOF=2\angle DEF\]
が成り立ちます。
$∠DOF=y, ∠DEF=38°$なので
\begin{align*}y&=2\cdot38°\\[0.5em]&=76°\end{align*}
と求められます。
別解
(1)と似たような解き方もできます。
.png)
このことから、$∠ODE=∠OED=\delta,$$∠OEF=∠OFE=\varepsilon,$$∠OFD=∠ODF=\zeta$とおくことができます。
すると、$△DEF$において
\begin{align*}∠D+∠E+∠F&=180°\\[0.5em](∠ODE+∠ODF)+(∠OED+∠OEF)+(∠OFD+∠OFE)&=180°\\[0.5em](\delta+\zeta)+(\delta+\varepsilon)+(\zeta+\varepsilon)&=180°\\[0.5em]2\delta+2\varepsilon+2\zeta&=180°\\[0.5em]2(\delta+\varepsilon+\zeta)&=180°\end{align*}
となり、両辺を$2$で割ると
\[\delta+\varepsilon+\zeta=90°\tag{c}\]
が導かれます。
また、$∠E=38°$より
\[\delta+\varepsilon=38°\]
なので、これを$\text{c}$に代入すると
\begin{align*}38°+\zeta&=90°\\[0.5em]\zeta&=52°\tag{d}\end{align*}
であることがわかります。
$△OFD$において
\begin{align*}∠DOF+∠OFD+∠ODF&=180°\\[0.5em]y+2\zeta&=180°\end{align*}
であり、$\text{d}$を代入して$y$について解くと
\begin{align*}y+2\cdot52°&=180°\\[0.5em]y+104°&=180°\\[0.5em]y&=76°\end{align*}
と求められます。
(2024/11)(2)の解法に加筆しました。
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