(1)の点$\text{I}$は$△\text{ABC}$の内心、(2)の点$\text{O}$は$△\text{DEF}$の外心である。」
角度$x,y$はそれぞれ外心・内心の性質に着目すると求めることができます。
(1)
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また、線分$\text{AI, CI}$もそれぞれ$∠\text{A},∠\text{C}$の二等分線なので、$∠\text{IAB}=∠\text{IAC}=α,$ $∠\text{IBA}=∠\text{IBC}=β,$ $∠\text{ICA}=∠\text{ICB}=γ$とおくことができます。
すると、三角形の内角の和は$180°$なので、$△\text{ABC}$において
\begin{align*}∠\text{A}+∠\text{B}+∠\text{C}&=180°\\[0.5em](∠\text{IAB}+∠\text{IAC})+(∠\text{IBA}+∠\text{IBC})+(∠\text{ICA}+∠\text{ICB})&=180°\\[0.5em]2\alpha+2\beta+2\gamma&=180°\\[0.5em]2(\alpha+\beta+\gamma)&=180°\end{align*}
となり、両辺を$2$で割ると
\[\alpha+\beta+\gamma=90°\tag{a}\]
が導かれます。
$△\text{IAC}$において
\begin{align*}∠\text{AIC}+∠\text{IAC}+∠\text{ICA}&=180°\\[0.5em]146°+\alpha+\gamma&=180°\end{align*}
となり、整理すると
\[\alpha+\gamma=34°\tag{b}\]
が導かれます。
$\text{(a), (b)}$より
\begin{align*}34°+\beta&=90°\\[0.5em]\beta&=56°\end{align*}
$x=∠\text{B}=2β$なので両辺に$2$を掛けると
\[2\beta=112°\]
すなわち、
\[x=112°\]
と求められます。
(2)
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\[∠\text{DOF}=2∠\text{DEF}\]
が成り立ちます。
$∠\text{DOF}=y, ∠\text{DEF}=38°$なので
\begin{align*}y&=2\cdot38°\\[0.5em]&=76°\end{align*}
と求められます。
別解
(1)と似たような解き方もできます。
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このことから、$∠\text{ODE}=∠\text{OED}=\delta,$ $∠\text{OEF}=∠\text{OFE}=\varepsilon,$ $∠\text{OFD}=∠\text{ODF}=\zeta$とおくことができます。
すると、$△\text{DEF}$において
\begin{align*}∠\text{D}+∠\text{E}+∠\text{F}&=180°\\[0.5em](∠\text{ODE}+∠\text{ODF})+(∠\text{OED}+∠\text{OEF})+(∠\text{OFD}+∠\text{OFE})&=180°\\[0.5em](\delta+\zeta)+(\delta+\varepsilon)+(\zeta+\varepsilon)&=180°\\[0.5em]2\delta+2\varepsilon+2\zeta&=180°\\[0.5em]2(\delta+\varepsilon+\zeta)&=180°\end{align*}
となり、両辺を$2$で割ると
\[\delta+\varepsilon+\zeta=90°\tag{c}\]
が導かれます。
また、$∠\text{E}=38°$より
\[\delta+\varepsilon=38°\]
なので、これを$\text{(c)}$に代入すると
\begin{align*}38°+\zeta&=90°\\[0.5em]\zeta&=52°\tag{d}\end{align*}
であることがわかります。
$△\text{OFD}$において
\begin{align*}∠\text{DOF}+∠\text{OFD}+∠\text{ODF}&=180°\\[0.5em]y+2\zeta&=180°\end{align*}
であり、$\text{(d)}$を代入して$y$について解くと
\begin{align*}y+2\cdot52°&=180°\\[0.5em]y+104°&=180°\\[0.5em]y&=76°\end{align*}
と求められます。
(2024/11)(2)の解法に加筆しました。
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