(1)の点\text{I}は△\text{ABC}の内心、(2)の点\text{O}は△\text{DEF}の外心である。」
角度x,yはそれぞれ外心・内心の性質に着目すると求めることができます。
(1)
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また、線分\text{AI, CI}もそれぞれ∠\text{A},∠\text{C}の二等分線なので、∠\text{IAB}=∠\text{IAC}=α, ∠\text{IBA}=∠\text{IBC}=β, ∠\text{ICA}=∠\text{ICB}=γとおくことができます。
すると、三角形の内角の和は180°なので、△\text{ABC}において
\begin{align*}∠\text{A}+∠\text{B}+∠\text{C}&=180°\\[0.5em](∠\text{IAB}+∠\text{IAC})+(∠\text{IBA}+∠\text{IBC})+(∠\text{ICA}+∠\text{ICB})&=180°\\[0.5em]2\alpha+2\beta+2\gamma&=180°\\[0.5em]2(\alpha+\beta+\gamma)&=180°\end{align*}
となり、両辺を2で割ると
\alpha+\beta+\gamma=90°\tag{a}
が導かれます。
△\text{IAC}において
\begin{align*}∠\text{AIC}+∠\text{IAC}+∠\text{ICA}&=180°\\[0.5em]146°+\alpha+\gamma&=180°\end{align*}
となり、整理すると
\alpha+\gamma=34°\tag{b}
が導かれます。
\text{(a), (b)}より
\begin{align*}34°+\beta&=90°\\[0.5em]\beta&=56°\end{align*}
x=∠\text{B}=2βなので両辺に2を掛けると
2\beta=112°
すなわち、
x=112°
と求められます。
(2)
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∠\text{DOF}=2∠\text{DEF}
が成り立ちます。
∠\text{DOF}=y, ∠\text{DEF}=38°なので
\begin{align*}y&=2\cdot38°\\[0.5em]&=76°\end{align*}
と求められます。
別解
(1)と似たような解き方もできます。
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このことから、∠\text{ODE}=∠\text{OED}=\delta, ∠\text{OEF}=∠\text{OFE}=\varepsilon, ∠\text{OFD}=∠\text{ODF}=\zetaとおくことができます。
すると、△\text{DEF}において
\begin{align*}∠\text{D}+∠\text{E}+∠\text{F}&=180°\\[0.5em](∠\text{ODE}+∠\text{ODF})+(∠\text{OED}+∠\text{OEF})+(∠\text{OFD}+∠\text{OFE})&=180°\\[0.5em](\delta+\zeta)+(\delta+\varepsilon)+(\zeta+\varepsilon)&=180°\\[0.5em]2\delta+2\varepsilon+2\zeta&=180°\\[0.5em]2(\delta+\varepsilon+\zeta)&=180°\end{align*}
となり、両辺を2で割ると
\delta+\varepsilon+\zeta=90°\tag{c}
が導かれます。
また、∠\text{E}=38°より
\delta+\varepsilon=38°
なので、これを\text{(c)}に代入すると
\begin{align*}38°+\zeta&=90°\\[0.5em]\zeta&=52°\tag{d}\end{align*}
であることがわかります。
△\text{OFD}において
\begin{align*}∠\text{DOF}+∠\text{OFD}+∠\text{ODF}&=180°\\[0.5em]y+2\zeta&=180°\end{align*}
であり、\text{(d)}を代入してyについて解くと
\begin{align*}y+2\cdot52°&=180°\\[0.5em]y+104°&=180°\\[0.5em]y&=76°\end{align*}
と求められます。
(2024/11)(2)の解法に加筆しました。
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