三角形の外心・内心と角度 ~ 数学について考えてみる

2024年9月27日

三角形の外心・内心と角度

PLUMBAGO

「上図の角度

x, y

$x,y$ をそれぞれ求めよ。
(1)の点

I

$\text{I}$ は

△ ABC

$△\text{ABC}$ の内心、(2)の点

O

$\text{O}$ は

△ DEF

$△\text{DEF}$ の外心である。」

　角度

x, y

$x,y$ はそれぞれ外心・内心の性質に着目すると求めることができます。

(1)

　三角形の内心は、三角形の内接円の中心であり、内角の二等分線の交点でもあります。

したがって、線分

BI

$\text{BI}$ を引くと、これは

∠ B

$∠\text{B}$ の二等分線となります。
また、線分

AI, CI

$\text{AI, CI}$ もそれぞれ

∠ A, ∠ C

$∠\text{A},∠\text{C}$ の二等分線なので、

∠ IAB = ∠ IAC = α,

$∠\text{IAB}=∠\text{IAC}=α,$

∠ IBA = ∠ IBC = β,

$∠\text{IBA}=∠\text{IBC}=β,$

∠ ICA = ∠ ICB = γ

$∠\text{ICA}=∠\text{ICB}=γ$ とおくことができます。

すると、三角形の内角の和は

180 °

$180°$ なので、

△ ABC

$△\text{ABC}$ において

\begin{matrix} ∠ A + ∠ B + ∠ C & = 180 ° (∠ IAB + ∠ IAC) + (∠ IBA + ∠ IBC) + (∠ ICA + ∠ ICB) & = 180 ° 2 α + 2 β + 2 γ & = 180 ° 2 (α + β + γ) & = 180 ° \end{matrix}

$\begin{align*}∠\text{A}+∠\text{B}+∠\text{C}&=180°\\[0.5em](∠\text{IAB}+∠\text{IAC})+(∠\text{IBA}+∠\text{IBC})+(∠\text{ICA}+∠\text{ICB})&=180°\\[0.5em]2\alpha+2\beta+2\gamma&=180°\\[0.5em]2(\alpha+\beta+\gamma)&=180°\end{align*}$

となり、両辺を

2

$2$ で割ると

\begin{matrix} α + β + γ = 90 ° \\ (a) \end{matrix}

$\alpha+\beta+\gamma=90°\tag{a}$

が導かれます。

△ IAC

$△\text{IAC}$ において

\begin{matrix} ∠ AIC + ∠ IAC + ∠ ICA & = 180 ° 146 ° + α + γ & = 180 ° \end{matrix}

$\begin{align*}∠\text{AIC}+∠\text{IAC}+∠\text{ICA}&=180°\\[0.5em]146°+\alpha+\gamma&=180°\end{align*}$

となり、整理すると

\begin{matrix} α + γ = 34 ° \\ (b) \end{matrix}

$\alpha+\gamma=34°\tag{b}$

が導かれます。

(a), (b)

$\text{(a), (b)}$ より

\begin{matrix} 34 ° + β & = 90 ° β & = 56 ° \end{matrix}

$\begin{align*}34°+\beta&=90°\\[0.5em]\beta&=56°\end{align*}$

x = ∠ B = 2 β

$x=∠\text{B}=2β$ なので両辺に

2

$2$ を掛けると

2 β = 112 °

$2\beta=112°$

すなわち、

x = 112 °

$x=112°$

と求められます。

(2)

　三角形の外心は、三角形の外接円の中心です。

したがって

△ DEF

$△\text{DEF}$ の外接円

O

$\text{O}$ において、

∠ DOF

$∠\text{DOF}$ は弦

DF

$\text{DF}$ に対する中心角、

∠ DEF

$∠\text{DEF}$ は弦

DF

$\text{DF}$ に対する円周角なので、円周角の定理より

∠ DOF = 2 ∠ DEF

$∠\text{DOF}=2∠\text{DEF}$

が成り立ちます。

∠ DOF = y, ∠ DEF = 38 °

$∠\text{DOF}=y, ∠\text{DEF}=38°$ なので

\begin{matrix} y & = 2 \cdot 38 ° = 76 ° \end{matrix}

$\begin{align*}y&=2\cdot38°\\[0.5em]&=76°\end{align*}$

と求められます。

別解

　(1)と似たような解き方もできます。

点

O

$\text{O}$ は

△ DEF

$△\text{DEF}$ の外接円の中心なので、線分

EO

$\text{EO}$ を引くと

DO = EO = FO

$\text{DO}=\text{EO}=\text{FO}$ が成り立ち、

△ ODE, △ OEF, △ OFD

$△\text{ODE},△\text{OEF},△\text{OFD}$ は二等辺三角形となります。
このことから、

∠ ODE = ∠ OED = δ,

$∠\text{ODE}=∠\text{OED}=\delta,$

∠ OEF = ∠ OFE = ε,

$∠\text{OEF}=∠\text{OFE}=\varepsilon,$

∠ OFD = ∠ ODF = ζ

$∠\text{OFD}=∠\text{ODF}=\zeta$ とおくことができます。

すると、

$△\text{DEF}$ において

$\begin{align*}∠\text{D}+∠\text{E}+∠\text{F}&=180°\\[0.5em](∠\text{ODE}+∠\text{ODF})+(∠\text{OED}+∠\text{OEF})+(∠\text{OFD}+∠\text{OFE})&=180°\\[0.5em](\delta+\zeta)+(\delta+\varepsilon)+(\zeta+\varepsilon)&=180°\\[0.5em]2\delta+2\varepsilon+2\zeta&=180°\\[0.5em]2(\delta+\varepsilon+\zeta)&=180°\end{align*}$

となり、両辺を

$2$ で割ると

$\delta+\varepsilon+\zeta=90°\tag{c}$

が導かれます。

また、

$∠\text{E}=38°$ より

$\delta+\varepsilon=38°$

なので、これを

$\text{(c)}$ に代入すると