- 2辺の長さが等しい。
- 2つの内角の大きさが等しい。
- 頂点から底辺へ引く垂線は垂直二等分線かつ頂角の二等分線になる。
$△ABM$と$△ACM$に着目して、
$AM⊥BC$より、$∠AMB=∠AMC=90°$なので、$△ABM$と$△ACM$は直角三角形となります。
$△ABC$は二等辺三角形であるから$AB=AC$。これは$△ABM$と$△ACM$それぞれの斜辺となります。
垂線$AM$は共通な辺となるので、$AM=AM$
また、$BM=CM,\
AM⊥BC$より垂線$AM$は$BC$の垂直二等分線であり、$∠BAM=∠CAM$であることから$AM$は頂角$∠A$の二等分線でもあることがわかります。
したがって、3.の特徴があることがわかります。
2.の特徴を持つ三角形
$△ABM$と$△ACM$に着目すると、
$∠ABC=∠ACB$より$∠ABM=∠ACM\
\cdots\text{(i)}$。
$AM⊥BC$より、$∠AMB=∠AMC=90°\
\cdots\text{(ii)}$。
$\text{(i),(ii)}$より$∠BAM=∠CAM\
\cdots\text{(iii)}$
また、$AM$は共通な辺なので、$AM=AM\
\cdots\text{(iv)}$。
$\text{(ii),(iii),(iv)}$より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$△ACM$と$△BCM$は合同であることがわかります。
このことから$\mathbf{AB=AC}$となり、1.の特徴を持つため$△ABC$は二等辺三角形であることがわかります。
3.の特徴を持つ三角形
線分とその垂直二等分線上の点によってできる三角形
$△ACM$と$△BCM$に着目すると、
$AB⊥CM$より、$∠AMC=∠BMC=90°$
点$M$は$AB$の中点であるから$AM=BM$
$CM$は共通な辺なので$CM=CM$
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので$△ACM$と$△BCM$は合同であることがわかります。
このことから$\mathbf{AC=BC}$となり、1.の特徴を持つため$△ABC$は二等辺三角形であることがわかります。
2直線とそのなす角の二等分線の垂線によってできる三角形
直線$l,m$の交点を$A$とし、2直線のなす角の二等分線を引きます。この角の二等分線上の点$A$以外の点$P$をとり、点$P$を通る角の二等分線に垂直な直線を引き、直線$l,m$との交点をそれぞれ$B,C$とします。このときできる$△ABC$が二等辺三角形であることを確かめます。
$△ABP$と$△ACP$に着目すると
$AP$は直線$l,m$のなす角の二等分線より$∠BAP=∠CAP$
$AP⊥BC$より$∠APB=∠APC=90°$
$AP$は共通の辺なので$AP=AP$
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので$△ABP$と$△ACP$は合同であることがわかります。
このことから$\mathbf{AB=AC}$となり、1.の特徴を持つため$△ABC$は二等辺三角形であることがわかります。